Dipendenza e combinazione lineare tra vettori con parametro
Ciao a tutti,
ho un dubbio su un esercizio. Di seguito il testo:
L'esercizio mi sembra facile, ma non sono sicuro del mio ragionamento, se è corretto e/o incompleto. Di seguito vi descrivo come risolverei l'esercizio. Vorrei capire se sbaglio/manco qualcosa. Grazie in anticipo.
Svolgimento
a) Affinché appartenga all'insieme $Span{v_1,v_2}$, $w$ dev'essere una combinazione lineare dei due vettori che generano tale insieme, ovvero
$ alpha_1v_1 + alpha_2v_2 = w$
che dà origine al sistema
${(kalpha_1 + alpha_2 = 2) ,(alpha_1 - 2alpha_2 = 5):} $
le cui soluzioni sono
$ alpha_1 = 9/(1+2k), alpha_2 = (2-5k)/(1+2k) $
Mi vien da dire che dovrà essere necessariamente $ k != -1/2 $, altrimenti il sistema sarebbe impossibile; inoltre, tale condizione è anche sufficiente perché in tal modo sarà $ alpha_1 != 0 $, quindi escludo il vettore nullo come soluzione del sistema.
b) Affinché $v_1$ e $v_2$ siano linearmente indipendenti, il vettore nullo dev'essere l'unica soluzione possibile del sistema
${(kalpha_1 + alpha_2 = 0) ,(alpha_1 - 2alpha_2 = 0):} $
Poiché, risolvendo il sistema, ottengo che
$alpha_1=2alpha_2$ e $alpha_2(1+2k)=0$
mi vien da dire che i due vettori sono linearmente indipendenti per $k!=-1/2$, altrimenti il sistema ammetterebbe anche altre soluzioni con $alpha_1$ e $alpha_2$ diversi da zero.
Vi trovate? E' così che si svolge un esercizio del genere? Grazie.
ho un dubbio su un esercizio. Di seguito il testo:
Siano dati in $RR^2$ i vettori:
$v_1=((k),(1)), v_1=((1),(-2)), w=((2),(5))$
a) Si dica per quali valori di $ k $ si ha che $w in Span{v_1,v_2}$
b) Si dica per quali valori di $k$ i due vettori $v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti.
L'esercizio mi sembra facile, ma non sono sicuro del mio ragionamento, se è corretto e/o incompleto. Di seguito vi descrivo come risolverei l'esercizio. Vorrei capire se sbaglio/manco qualcosa. Grazie in anticipo.
Svolgimento
a) Affinché appartenga all'insieme $Span{v_1,v_2}$, $w$ dev'essere una combinazione lineare dei due vettori che generano tale insieme, ovvero
$ alpha_1v_1 + alpha_2v_2 = w$
che dà origine al sistema
${(kalpha_1 + alpha_2 = 2) ,(alpha_1 - 2alpha_2 = 5):} $
le cui soluzioni sono
$ alpha_1 = 9/(1+2k), alpha_2 = (2-5k)/(1+2k) $
Mi vien da dire che dovrà essere necessariamente $ k != -1/2 $, altrimenti il sistema sarebbe impossibile; inoltre, tale condizione è anche sufficiente perché in tal modo sarà $ alpha_1 != 0 $, quindi escludo il vettore nullo come soluzione del sistema.
b) Affinché $v_1$ e $v_2$ siano linearmente indipendenti, il vettore nullo dev'essere l'unica soluzione possibile del sistema
${(kalpha_1 + alpha_2 = 0) ,(alpha_1 - 2alpha_2 = 0):} $
Poiché, risolvendo il sistema, ottengo che
$alpha_1=2alpha_2$ e $alpha_2(1+2k)=0$
mi vien da dire che i due vettori sono linearmente indipendenti per $k!=-1/2$, altrimenti il sistema ammetterebbe anche altre soluzioni con $alpha_1$ e $alpha_2$ diversi da zero.
Vi trovate? E' così che si svolge un esercizio del genere? Grazie.
Risposte
up (please)
mi pare che sia tutto giusto
Grazie!
@Ciobix,
sulle considerazioni fatte sullo studio del sistema, tu devi vedere se esiste \(( \alpha_1,\alpha_2 ) \in \Bbb{R}^2\), quindi se il sistema è compatibile e quindi (per Rouchè-Capelli) se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta, il rango della matrice completa è sempre \( 2 \), mentre quello della matrice incompleta è \(2\) se \( k\neq -\frac{1}{2} \) e in questo caso il sistema è determinato (poichè il rango è uguale al numero delle incognite) e crameriano con soluzioni uniche, minore di \( 2 \) ma maggiore o uguale a \( 1 \) ( e quindi diverso dal rango della matrice incompleta) se \( k=-\frac{1}{2}\) e in questo è impossibile o incompatibile!
Saluti
sulle considerazioni fatte sullo studio del sistema, tu devi vedere se esiste \(( \alpha_1,\alpha_2 ) \in \Bbb{R}^2\), quindi se il sistema è compatibile e quindi (per Rouchè-Capelli) se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta, il rango della matrice completa è sempre \( 2 \), mentre quello della matrice incompleta è \(2\) se \( k\neq -\frac{1}{2} \) e in questo caso il sistema è determinato (poichè il rango è uguale al numero delle incognite) e crameriano con soluzioni uniche, minore di \( 2 \) ma maggiore o uguale a \( 1 \) ( e quindi diverso dal rango della matrice incompleta) se \( k=-\frac{1}{2}\) e in questo è impossibile o incompatibile!
Saluti
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