Dipendenza di un vettore da un sistema
Buongiorno a tutti: come devo impostare il ragionamento per questo tipo di domanda?
Si consideri l’R-spazio vettoriale R^3 ed il sistema S = [(1; 2; 3)]. Allora si ha che il vettore (2,4,5) è linearmente dipendente dal sistema S.
Perchè? Potreste dettagliatamente spiegarmi il ragionamento?
Grazie
Si consideri l’R-spazio vettoriale R^3 ed il sistema S = [(1; 2; 3)]. Allora si ha che il vettore (2,4,5) è linearmente dipendente dal sistema S.
Perchè? Potreste dettagliatamente spiegarmi il ragionamento?
Grazie
Risposte
Che cos'è il "sistema $S=(1,2,3)$?
Ciao Alessandro1!
Dunque, se per "sistema $S$" intendi lo $Span$, ovvero:
$Span{(1,2,3)}= { \alpha (1,2,3) | \alpha \in \RR } $, dunque l'insieme di tutti i multipli del tuo vettore, allora in tal caso, il vettore $(2,4,5)$ è indipendente dal sistema, mentre il vettore $(2,4,6)$ è dipendente.
Per controllare questa cosa, dobbiamo vedere in che relazione sono i vettori $(1,2,3)$ -che è quello che genera il tuo sistema $S$ - e $(2,4,5)$.
Ricordiamo che due vettori $v,w$ si dicono indipendenti se il sistema lineare $a v + b w = 0$, nelle incognite $a,b \in \RR$, ammette come unica soluzione quella nulla: $a = b = 0$; altrimenti sono dipendenti.
Consideriamo allora il sistema $a(1,2,3) + b(2,4,5) = (0,0,0)$, ovvero: $(a+2b, 2a+4b, 3a+5b) = (0,0,0)$, da cui otteniamo le 3 equazioni:
${(a + 2b = 0), (2a + 4b = 0), (3a + 5b = 0) :}$.
Andando a risolvere, abbiamo che le prime due ci danno entrambe $a = -2b$, dunque sostituendo nella terza otteniamo:
${(a=-2b), (a=-2b), (-6b+5b=0):}$,
da cui si ricava $b=0$ ed anche $a = 0$ come unica soluzione del sistema.
I vettori $(1,2,3)$ e $(2,4,5)$ sono allora indipendenti.
Se andiamo a considerare invece il sistema dato dai vettori $(1,2,3),(2,4.6)$, si ottiene: $a(1,2,3)+b(2,4,6) = (0,0,0)$, ovvero:
${(a+2b = 0), (2a+4b = 0), (3a+6b=0):}.$
Risolvendo, dalla prima si ottiene $a = -2b$ e sostituendo nelle altre due si ha:
${(a=-2b),(0=0),(0=0):}$
Per cui tutte le soluzioni di questo sistema solo della forma $a = -2b$, e ne ho infinite dato che dipendono dai valori che dò a $b$.
Se, ad esempio, prendo $b = 0$, trovo $a = 0$; mentre se fisso $b = 1$, trovo $a = -2$.
Dato che $a=b=0$ NON è l'unica soluzione del sistema, i due vettori sono dipendenti (infatti sono l'uno multiplo dell'altro)
Dunque, se per "sistema $S$" intendi lo $Span$, ovvero:
$Span{(1,2,3)}= { \alpha (1,2,3) | \alpha \in \RR } $, dunque l'insieme di tutti i multipli del tuo vettore, allora in tal caso, il vettore $(2,4,5)$ è indipendente dal sistema, mentre il vettore $(2,4,6)$ è dipendente.
Per controllare questa cosa, dobbiamo vedere in che relazione sono i vettori $(1,2,3)$ -che è quello che genera il tuo sistema $S$ - e $(2,4,5)$.
Ricordiamo che due vettori $v,w$ si dicono indipendenti se il sistema lineare $a v + b w = 0$, nelle incognite $a,b \in \RR$, ammette come unica soluzione quella nulla: $a = b = 0$; altrimenti sono dipendenti.
Consideriamo allora il sistema $a(1,2,3) + b(2,4,5) = (0,0,0)$, ovvero: $(a+2b, 2a+4b, 3a+5b) = (0,0,0)$, da cui otteniamo le 3 equazioni:
${(a + 2b = 0), (2a + 4b = 0), (3a + 5b = 0) :}$.
Andando a risolvere, abbiamo che le prime due ci danno entrambe $a = -2b$, dunque sostituendo nella terza otteniamo:
${(a=-2b), (a=-2b), (-6b+5b=0):}$,
da cui si ricava $b=0$ ed anche $a = 0$ come unica soluzione del sistema.
I vettori $(1,2,3)$ e $(2,4,5)$ sono allora indipendenti.
Se andiamo a considerare invece il sistema dato dai vettori $(1,2,3),(2,4.6)$, si ottiene: $a(1,2,3)+b(2,4,6) = (0,0,0)$, ovvero:
${(a+2b = 0), (2a+4b = 0), (3a+6b=0):}.$
Risolvendo, dalla prima si ottiene $a = -2b$ e sostituendo nelle altre due si ha:
${(a=-2b),(0=0),(0=0):}$
Per cui tutte le soluzioni di questo sistema solo della forma $a = -2b$, e ne ho infinite dato che dipendono dai valori che dò a $b$.
Se, ad esempio, prendo $b = 0$, trovo $a = 0$; mentre se fisso $b = 1$, trovo $a = -2$.
Dato che $a=b=0$ NON è l'unica soluzione del sistema, i due vettori sono dipendenti (infatti sono l'uno multiplo dell'altro)
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