Dipendenza di un sistema

[lepre56]

Il mio prof chiede la dimostrazione di questo enunciato: "Un sistema contenente il vettore nullo è dipendente"

Io avevo pensato ad una risoluzione banale ma non so se sia esatta.

Un sistema per essere dipendente deve avere determinante uguale a zero. Dato che un sistema con il vettore nullo ha determinante uguale a zero allora quel sistema è dipendente.


Può andar bene come dimostrazione???

[Magma1]

Conviene partire dalla definizione di l.i. e l.d.

[lepre56]

"Magma":Conviene partire dalla definizione di l.i. e l.d.

Quindi è sbagliata la mia dimostrazione??

[Magma1]

Più che dimostrare, sfrutti una proprietà del determinante.

Sia $V$ uno spazio vettoriale e $v_1,...,v_n in V$ fissati. Considera l'equazione

$alpha_1v_1+...+alpha_nv_n=bar(0)$

se l'unica soluzione è $(alpha_1,....,alpha_n)=(0,...,0)in RR^n$, allora $v_1,...,v_n in V$ sono linearmente indipendenti;
altrimenti, ovvero se esiste almeno un $alpha_i ne0$, sono linearmente dipendenti.

Ora noterai che

$bar(0)=a*bar(0)+0*v_1+...+0*v_n, qquad AA ane0 in RR$

quindi se un insieme di vettori contiene il vettore nullo, allora l'insieme è costituito da vettori l. d.

[lepre56]

"Magma":Più che dimostrare, sfrutti una proprietà del determinante.

Sia $V$ uno spazio vettoriale e $v_1,...,v_n in V$ fissati. Considera l'equazione

$alpha_1v_+...+alpha_nv_n=bar(0)$

se l'unica soluzione è $(alpha_1,....,alpha_n)in RR^n$, allora $v_1,...,v_n in V$ sono linearmente indipendenti;
altrimenti, ovvero se esiste almeno un $alpha_i ne0$, sono linearmente dipendenti.

Ora noterai che

$bar(0)=a*bar(0)+0*v_1+...+0*v_n, qquad AA ane0 in RR$

quindi se un insieme di vettori contiene il vettore nullo, allora l'insieme è costituito da vettori l. d.

In questo passaggio $bar(0)=a*bar(0)+0*v_1+...+0*v_n, qquad AA ane0 in RR$ al primo termine hai fatto $a*0$ perchè è lo 0 sta ad indicare il vettore nullo???


P.s è tutta qui la dimostrazione???

[Magma1]

Sì, $bar(0)in V$.