Dimostrazioni varie [autovalori]
Ciao a tutti!!! Sto studiando per l'orale di algebra e sto vedendo alcune dimostrazioni, siccome spesso faccio errori abbastanza grossolani vorrei provare a scrivere qui quello che fin ora ho capito, cosìcchè qualcuno possa correggermi in caso di leggerezze 
posto quelli su cui sono meno sicuro
[size=150]
1. Determinazione autovalori[/size]
Posta una $f:V->V$ su K, si ha per definizione che un autovalore è l'elemento $\lambda in K | f(v) = \lambda*v, v != 0_K$. Si dimostra che si possono determinare tali valori ponendo uguale a zero il polinomio caratteristico perchè:
1) $\lambda in K | f(v) = \lambda*v \rArr f(v) - \lambda*v = 0 \rArr (f-\lambda)(v) = 0$
2) Siccome si è supposto $v!=0$ il primo punto vuol dire che $Ker(f-\lambda) !={0_K}$
3) Il ker è diverso da 0 se e solo se il determinante della matrice riferita ad una base $B$ di $K$ è $= 0$
4) Posta una base, $(f-\lambda) = (A - \lambdaI_K)$, quindi $|A - \lambdaI_K| = 0
5) Infine, si determina il polinomio caratteristico sviluppando il determinante come si preferisce e lo si eguaglia (naturalmente) a 0 e si trovano i relativi $\lambda$
Basta come dimostrazione??? Io quello su cui sono prerplesso è: come si fa a dimostrare che il determinante di una data matrice è un polinomio (degenere nal caso di det(A))?? cioè praticamente si capisce, ma bisogna dimostrarlo??
Grazie a tutti!!!
[mod="Steven"]Reso più preciso il titolo.
Si consiglia, per facilitare la navigazione, di porre titoli più specifici all'argomento in questione.[/mod]
posto quelli su cui sono meno sicuro[size=150]
1. Determinazione autovalori[/size]
Posta una $f:V->V$ su K, si ha per definizione che un autovalore è l'elemento $\lambda in K | f(v) = \lambda*v, v != 0_K$. Si dimostra che si possono determinare tali valori ponendo uguale a zero il polinomio caratteristico perchè:
1) $\lambda in K | f(v) = \lambda*v \rArr f(v) - \lambda*v = 0 \rArr (f-\lambda)(v) = 0$
2) Siccome si è supposto $v!=0$ il primo punto vuol dire che $Ker(f-\lambda) !={0_K}$
3) Il ker è diverso da 0 se e solo se il determinante della matrice riferita ad una base $B$ di $K$ è $= 0$
4) Posta una base, $(f-\lambda) = (A - \lambdaI_K)$, quindi $|A - \lambdaI_K| = 0
5) Infine, si determina il polinomio caratteristico sviluppando il determinante come si preferisce e lo si eguaglia (naturalmente) a 0 e si trovano i relativi $\lambda$
Basta come dimostrazione??? Io quello su cui sono prerplesso è: come si fa a dimostrare che il determinante di una data matrice è un polinomio (degenere nal caso di det(A))?? cioè praticamente si capisce, ma bisogna dimostrarlo??
Grazie a tutti!!!
[mod="Steven"]Reso più preciso il titolo.
Si consiglia, per facilitare la navigazione, di porre titoli più specifici all'argomento in questione.[/mod]
Risposte
Si, bisogna dimostrarlo che il determinante è un polinomio. Ma è facile, basta applicare la formula (che poi in genere si prende come definizione) $detA=sum_sigma"sign"sigma\ a_(1, sigma(1))...a_(n, sigma(n))$.
praticamente la formula di Laplace?? okok perfetto grazie mille
I problemi invece mi iniziano a insorgere col concetto di nilpotenza (in nero quello che ho capito io, in blu le parti del libro che non capisco):
Posto un endomorfismo $f:V->V$ non diagonalizzabile ma triangolabile, con tutti gli autovalori (\lambda)uguali tra loro (ovvero la moteplicità algebrica di \lambda è n, cioè $P_A(\lambda) = (t - \lambda)^n$
Volendo studiare l'endomorfismo $f$ basta studiare l'endomorfismo $f-w_\lambda$ il quale non è nullo poichè f non è diagonalizzabile.
Ecco qui ho dei problemi... perchè il fatto che $f$ non sia diagonalizzabile implica che $f-w_\lambda$ non sia nullo?
Ho provato a ragionarci, praticamente vuol dire che $(A - \lambdaI) != 0$, e ho dedotto che effettivamente $(A-\lambdaI) = 0 \hArr A = ((\lambda,0,...,0),(0,\lambda,...,0),(...,...,...,...),(0,0,...,\lambda))$ ovvero A è diagonale... ma diagonale non vuol dire diagonalizzabile!! e soprattutto, diagonale non è detto che abbia tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali tra loro... Come si può arrivare a tale asserto?
Grazie ancora
I problemi invece mi iniziano a insorgere col concetto di nilpotenza (in nero quello che ho capito io, in blu le parti del libro che non capisco):
Posto un endomorfismo $f:V->V$ non diagonalizzabile ma triangolabile, con tutti gli autovalori (\lambda)uguali tra loro (ovvero la moteplicità algebrica di \lambda è n, cioè $P_A(\lambda) = (t - \lambda)^n$
Volendo studiare l'endomorfismo $f$ basta studiare l'endomorfismo $f-w_\lambda$ il quale non è nullo poichè f non è diagonalizzabile.
Ecco qui ho dei problemi... perchè il fatto che $f$ non sia diagonalizzabile implica che $f-w_\lambda$ non sia nullo?
Ho provato a ragionarci, praticamente vuol dire che $(A - \lambdaI) != 0$, e ho dedotto che effettivamente $(A-\lambdaI) = 0 \hArr A = ((\lambda,0,...,0),(0,\lambda,...,0),(...,...,...,...),(0,0,...,\lambda))$ ovvero A è diagonale... ma diagonale non vuol dire diagonalizzabile!! e soprattutto, diagonale non è detto che abbia tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali tra loro... Come si può arrivare a tale asserto?
Grazie ancora
No no, madò che casino... 
E' molto più semplice di quanto pensi. L'endomorfismo nullo è diagonalizzabile o no? E allora, se un endomorfismo non è diagonalizzabile, può essere che sia nullo?
[edit] oops! ho detto io una cavolata invece.
E' molto più semplice di quanto pensi. L'endomorfismo nullo è diagonalizzabile o no? E allora, se un endomorfismo non è diagonalizzabile, può essere che sia nullo?
[edit] oops! ho detto io una cavolata invece.
uff e io per cercare una dimostrazione diversa mi sono imbattuto nella scoperta dei quaternioni... e io che pensavo (speravo!) che la matematica si fosse fermata ai complessi xo interessante come cosa Cmq quindi a quanto ho capito la mia ideuzza della matrice diagonale è sbagliata vero??
Aggiusto un po' quello che ho detto prima. Per come ho scritto io non va bene.
Presumo che con $w_lambda$ tu intenda l'applicazione lineare $w_lambda(x)=lambdax$.
Questa è evidentemente una applicazione diagonalizzabile. Se fosse $f-w_lambda$ l'applicazione nulla, allora $f=w_lambda$ e non può essere, perché $w_lambda$ è diagonalizzabile e $f$ no. Questo è il senso di ciò che volevo dire prima.
Presumo che con $w_lambda$ tu intenda l'applicazione lineare $w_lambda(x)=lambdax$.
Questa è evidentemente una applicazione diagonalizzabile. Se fosse $f-w_lambda$ l'applicazione nulla, allora $f=w_lambda$ e non può essere, perché $w_lambda$ è diagonalizzabile e $f$ no. Questo è il senso di ciò che volevo dire prima.
No cavolo allora non ho capito bene io, perchè questo $w_\lambda$ pensavo intendesse semplicemente $f-\lambda$... allora se ho capito bene questo $w_\lambda$ è praticamente l'applicazione che può essere scritta in forma matriciale come $\lambdaI$ giusto???
ma quindi perchè poi il testo dice che $f-w_\lambda$ è triangolarizzabile?? io la interpreto ocme se $(A-\lambdaI)$ è una matrice triangolare... ma questo da cosa esce fuori???
ma quindi perchè poi il testo dice che $f-w_\lambda$ è triangolarizzabile?? io la interpreto ocme se $(A-\lambdaI)$ è una matrice triangolare... ma questo da cosa esce fuori???
Che cosa sia $w_lambda$ veramente dovresti dirmelo tu
Che libro stai leggendo? Possibile che non lo dica?
Comunque ti ricordo che un endomorfismo (di $V$) è triangolarizzabile se e solo se "ha tutti gli autovalori", ovvero se la somma delle molteplicità algebriche raggiunge la dimensione di $V$.
Che libro stai leggendo? Possibile che non lo dica?
Comunque ti ricordo che un endomorfismo (di $V$) è triangolarizzabile se e solo se "ha tutti gli autovalori", ovvero se la somma delle molteplicità algebriche raggiunge la dimensione di $V$.
Sto leggendo il Ciliberto... ma mi pare ci voglia la stele di rosetta per interpretarlo
Cmq guarda, l'esame l'ho superato con un 23 che ho rifiutato perchè la materia mi piace e sono convinto di poter dare di +... Quindi adesso per fare le cose bene sto partendo da capo a studiarla, evitando di dare cose per scontato, così a giugno sarò padrone della cosa
Grazie comunque dell'aiuto che mi hai dato
Cmq guarda, l'esame l'ho superato con un 23 che ho rifiutato perchè la materia mi piace e sono convinto di poter dare di +... Quindi adesso per fare le cose bene sto partendo da capo a studiarla, evitando di dare cose per scontato, così a giugno sarò padrone della cosa
Grazie comunque dell'aiuto che mi hai dato
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