Dimostrazioni insiemistiche
Dimostrazioni abbastanza facili, la domanda è come migliorare formalità/rigore:
1) $A nn (B - C) = (A nn B) - (A nn C)$:
$ x \in A nn (B - C) \Leftrightarrow x \in A ^^ x \in (B - C) \Leftrightarrow x \in A ^^ x \in B ^^ x \notin C \Leftrightarrow (x \in A ^^ x \in B) ^^ (x \in A ^^ x \notin C) \Leftrightarrow $
$\Leftrightarrow x \in (A nn B) ^^ x \notin (A nn C) \Leftrightarrow x \in (A nn B) - (A nn C)$.
2) $ (A - B) - C = A - (B uu C)$:
$x \in (A - B) - C \Leftrightarrow x \in (A - B) ^^ x \notin C \Leftrightarrow x \in A ^^ x \notin B ^^ x \notin C \Leftrightarrow x \in A ^^ x \notin (B uu C) \Leftrightarrow x \in A - (B uu C)$.
3) $A uu B = (A nn B) uu (A - B) uu (B - A)$:
$x \in A uu B \Leftrightarrow x \in A vv x \in B \Leftrightarrow (x \in A ^^ x \in B) vv (x \in A ^^ x \notin B) vv (x \in B ^^ x \notin A) \Leftrightarrow x \in (A nn B) uu (A - B) uu (B - A)$.
Grazie
1) $A nn (B - C) = (A nn B) - (A nn C)$:
$ x \in A nn (B - C) \Leftrightarrow x \in A ^^ x \in (B - C) \Leftrightarrow x \in A ^^ x \in B ^^ x \notin C \Leftrightarrow (x \in A ^^ x \in B) ^^ (x \in A ^^ x \notin C) \Leftrightarrow $
$\Leftrightarrow x \in (A nn B) ^^ x \notin (A nn C) \Leftrightarrow x \in (A nn B) - (A nn C)$.
2) $ (A - B) - C = A - (B uu C)$:
$x \in (A - B) - C \Leftrightarrow x \in (A - B) ^^ x \notin C \Leftrightarrow x \in A ^^ x \notin B ^^ x \notin C \Leftrightarrow x \in A ^^ x \notin (B uu C) \Leftrightarrow x \in A - (B uu C)$.
3) $A uu B = (A nn B) uu (A - B) uu (B - A)$:
$x \in A uu B \Leftrightarrow x \in A vv x \in B \Leftrightarrow (x \in A ^^ x \in B) vv (x \in A ^^ x \notin B) vv (x \in B ^^ x \notin A) \Leftrightarrow x \in (A nn B) uu (A - B) uu (B - A)$.
Grazie
Risposte
errori mi pare non ce ne siano, anche se, usando la doppia implicazione, in qualche passaggio cruciale ci vedo delle forzature.
sarebbe opportuno sentire fields o qualcun altro piùm esperto in queste cose.
io sarei del parere di usare i complementari (dire ad esempio che $x notin C$ equivale a dire $x in barC$) e forse sarei più per dimostrare l'uguaglianza di ciascuno dei due insiemi con lo stesso insieme (un altro, che nel primo caso sarebbe $AnnBnnbarC$). non so però se è la strada migliore.
aspettiamo altri pareri. ciao.
sarebbe opportuno sentire fields o qualcun altro piùm esperto in queste cose.
io sarei del parere di usare i complementari (dire ad esempio che $x notin C$ equivale a dire $x in barC$) e forse sarei più per dimostrare l'uguaglianza di ciascuno dei due insiemi con lo stesso insieme (un altro, che nel primo caso sarebbe $AnnBnnbarC$). non so però se è la strada migliore.
aspettiamo altri pareri. ciao.
"Gatto89":
Dimostrazioni abbastanza facili, la domanda è come migliorare formalità/rigore:
1) $A nn (B - C) = (A nn B) - (A nn C)$:
$ x \in A nn (B - C) \Leftrightarrow x \in A ^^ x \in (B - C) \Leftrightarrow x \in A ^^ x \in B ^^ x \notin C \Leftrightarrow (x \in A ^^ x \in B) ^^ (x \in A ^^ x \notin C) \Leftrightarrow $
$\Leftrightarrow x \in (A nn B) ^^ x \notin (A nn C) \Leftrightarrow x \in (A nn B) - (A nn C)$.
Non sonomolto d'accordo: se dici $(x in A ^^^ x in B)^^^(x in A ^^^ x notin C)$ allo stai dicendo $x in A cap B ^^^ x in A \\ C$, quindi $x in (A cap B)cap(A \\ C)$.
Io avrei fatto così:
$x in (A cap B) \\ (A cap C) <=> x in (A cap B) ^^^ x notin (A cap C) <=> (x in A ^^^ x in B) ^^^ not(x in A cap C) <=> (x in A ^^^ x in B) ^^^ not ( x in A ^^^ x in C) <=> (x in A ^^^ x in B) ^^^ (x notin A vvv x notin C) <=>$
$<=> ((x in A ^^^ x in B) ^^^ x notin A) vvv ((x in A ^^^ x in B) ^^^ x notin C) <=> (x in A ^^^ (x in B ^^^ x notin A)) vvv (x in A ^^^ (x in B ^^^ x notin C)) <=> (x in A ^^^ (x notin A ^^^ x in B)) vvv (x in A ^^^ x in B \\ C) <=>$
$<=> ((x in A ^^^ x notin A) ^^^ x in B) vvv (x in A cap (B \\ C)) <=> (F ^^^ x in B) vvv (x in A cap (B \\ C)) <=> F vvv (x in A cap (B \\ C)) <=> x in A cap (B \\ C)$.
$x in (A cap B) \\ (A cap C) <=> x in (A cap B) ^^^ x notin (A cap C) <=> (x in A ^^^ x in B) ^^^ not(x in A cap C) <=> (x in A ^^^ x in B) ^^^ not ( x in A ^^^ x in C) <=> (x in A ^^^ x in B) ^^^ (x notin A vvv x notin C) <=>$
$<=> ((x in A ^^^ x in B) ^^^ x notin A) vvv ((x in A ^^^ x in B) ^^^ x notin C) <=> (x in A ^^^ (x in B ^^^ x notin A)) vvv (x in A ^^^ (x in B ^^^ x notin C)) <=> (x in A ^^^ (x notin A ^^^ x in B)) vvv (x in A ^^^ x in B \\ C) <=>$
$<=> ((x in A ^^^ x notin A) ^^^ x in B) vvv (x in A cap (B \\ C)) <=> (F ^^^ x in B) vvv (x in A cap (B \\ C)) <=> F vvv (x in A cap (B \\ C)) <=> x in A cap (B \\ C)$.
Grazie molto chiaro, solo due chiarimenti:
La F significa assurdo?
L'errore nella mia dimostrazione è che valeva l'implicazione ma non la doppia implicazione?
La F significa assurdo?
L'errore nella mia dimostrazione è che valeva l'implicazione ma non la doppia implicazione?
"Gatto89":
3) $A uu B = (A nn B) uu (A - B) uu (B - A)$:
$x \in A uu B \Leftrightarrow x \in A vv x \in B \Leftrightarrow (x \in A ^^ x \in B) vv (x \in A ^^ x \notin B) vv (x \in B ^^ x \notin A) \Leftrightarrow x \in (A nn B) uu (A - B) uu (B - A)$.
Grazie
Questa non l'ho capita: come fai a passare direttamente dal secondo membro al terzo?
Al RHS dell'uguaglianza da provare, l'unione degli ultimi due termini è la differenza simmetrica, quindi, io avrei fatto così:
$(A cap B) cup (A \\ B) cup (B \\ A)=(A cap B) cup (A Delta B)$
Vale (esercizio) $A Delta B = (A cup B) \\ (A cap B)$ e $X cup (Y \\ X) = X cup Y$, quindi :
$(A cap B) cup ((A cup B) \\ (A cap B))=A cup B$.
"Gatto89":
Grazie molto chiaro, solo due chiarimenti:
La F significa assurdo?
L'errore nella mia dimostrazione è che valeva l'implicazione ma non la doppia implicazione?
$F$ significa falso.
Io non ho detto che la tua dimostrazione non funziona. Sono molto ignorante in questo settore, quindi è probabile che io sia in errore: credo che non sia proprio possibile tararre il quarto membro partendo dal terzo così com'è scritto (mi riferisco alla tua prova di 1)).
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