Dimostrazione V postulato di Euclide (?!)
Dato un punto P e una retta r, esiste una e una sola retta s tale che r//s.
DIMOSTRAZIONE. Cominciamo con l'unicità. Siano s,s' due rette parallele a r e passanti per P. Allora si ha s//r e r//s', per cui s//s' in quanto il parallelismo è una relazione di equivalenza. Due rette parallele con un punto in comune sono coincidenti, e quindi s=s'.
Esistenza. Conduciamo da P la perpendicolare a r. Individuiamo così sulla retta r il punto P'. Scegliamo un terzo punto Q su r.
Tracciamo da Q un segmento QH congruente a PP' ottenuto mediante traslazione. Consideriamo la retta s passante per PH, e mostriamo che è parallela a r. Si ha PP' congruente e parallelo a QH, per cui PP'QH è un parallelogramma, e quindi P'Q in r è parallelo a PH in s. Ma allora r parallelo a s.
Q.E.D
O hanno sbagliato 2000 anni i matematici, o c'è un errore nella mia dimostrazione...
DIMOSTRAZIONE. Cominciamo con l'unicità. Siano s,s' due rette parallele a r e passanti per P. Allora si ha s//r e r//s', per cui s//s' in quanto il parallelismo è una relazione di equivalenza. Due rette parallele con un punto in comune sono coincidenti, e quindi s=s'.
Esistenza. Conduciamo da P la perpendicolare a r. Individuiamo così sulla retta r il punto P'. Scegliamo un terzo punto Q su r.
Tracciamo da Q un segmento QH congruente a PP' ottenuto mediante traslazione. Consideriamo la retta s passante per PH, e mostriamo che è parallela a r. Si ha PP' congruente e parallelo a QH, per cui PP'QH è un parallelogramma, e quindi P'Q in r è parallelo a PH in s. Ma allora r parallelo a s.
Q.E.D
O hanno sbagliato 2000 anni i matematici, o c'è un errore nella mia dimostrazione...
Risposte
"newton_1372":
Dato un punto P e una retta r, esiste una e una sola retta s tale che r//s.
Sicuramente intendevi dire: "Dato un punto P e una retta r, esiste una e una sola retta s per P tale che r//s.".
L'errore sta nell'utilizzare il fatto che \( s \parallel s' \) sapendo che \( s \parallel r \) e \( s' \parallel r \): infatti, serve il quinto postulato di Euclide per dimostrare che il parallelismo è una relazione di equivalenza.
mmm non vedo il perchè. Comunque riconosco di aver usato la tesi, specie nella costruzione dell'esistenza...
Facciamo vedere che sorgono problemi nel tentativo di dimostrare il fatto che il parallelismo sia una relazione di equivalenza senza il quinto postulato di Euclide.
Proprietà riflessiva:
Ogni retta è parallela a se stessa perché ogni retta coincide con se stessa.
Proprietà simmetrica:
Se una retta \( r \) è parallela ad una retta \( s \), allora vuol dire che o sono coincidenti o non hanno punti in comune.
In entrambi i casi è palese che \( s \) è parallela ad \( r \).
Proprietà transitiva:
Siano \( r \) ed \( s \) rette entrambe parallele ad una retta \( t \): allora \( r \) ed \( s \) o coincidono o sono distinte. Se coincidono sono parallele e quindi abbiamo finito. Se non coincidono, allora o sono incidenti o sono parallele.
Il fatto che non siano incidenti si prova utilizzando il quinto postulato: se esse fossero incidenti, allora ci sarebbero due parallele a \( t \) passanti per uno stesso punto, cosa che per il quinto postulato è falsa.
Da ciò concludi che \( r \) ed \( s \) sono parallele e hai quindi verificato la proprietà transitiva.
Proprietà riflessiva:
Ogni retta è parallela a se stessa perché ogni retta coincide con se stessa.
Proprietà simmetrica:
Se una retta \( r \) è parallela ad una retta \( s \), allora vuol dire che o sono coincidenti o non hanno punti in comune.
In entrambi i casi è palese che \( s \) è parallela ad \( r \).
Proprietà transitiva:
Siano \( r \) ed \( s \) rette entrambe parallele ad una retta \( t \): allora \( r \) ed \( s \) o coincidono o sono distinte. Se coincidono sono parallele e quindi abbiamo finito. Se non coincidono, allora o sono incidenti o sono parallele.
Il fatto che non siano incidenti si prova utilizzando il quinto postulato: se esse fossero incidenti, allora ci sarebbero due parallele a \( t \) passanti per uno stesso punto, cosa che per il quinto postulato è falsa.
Da ciò concludi che \( r \) ed \( s \) sono parallele e hai quindi verificato la proprietà transitiva.
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