Dimostrazione topologia
Ciao! Non sono assolutamente capace di dimostrare la seguente implicazione:
Sia X spazio topologico. Gli unici sottospazi di X aperti e chiusi sono solo X e $\emptyset \Rightarrow $X è connesso.
Se magari prima mi date un input, così provo...
Paola
Sia X spazio topologico. Gli unici sottospazi di X aperti e chiusi sono solo X e $\emptyset \Rightarrow $X è connesso.
Se magari prima mi date un input, così provo...
Paola
Risposte
Wei! 
Supponi per assurdo che X sia sconnesso e che gli unici sottospazi aperti e chiusi di X siano X e $emptyset$.
Poiché X è sconnesso, esso si scrive come unione disgiunta di due aperti (per definizione). Prova a pensare al "ruolo" di tali due aperti.
Supponi per assurdo che X sia sconnesso e che gli unici sottospazi aperti e chiusi di X siano X e $emptyset$.
Poiché X è sconnesso, esso si scrive come unione disgiunta di due aperti (per definizione). Prova a pensare al "ruolo" di tali due aperti.
"prime_number":
Ciao! Non sono assolutamente capace di dimostrare la seguente implicazione:
Sia X spazio topologico. Gli unici sottospazi di X aperti e chiusi sono solo X e $\emptyset \Rightarrow $X è connesso.
Se magari prima mi date un input, così provo...
Paola
A me pare che la proprietà che scrivi sia proprio la DEFINIZINE di connesso.
Se non è così, che definizione hai?
sottoscrivo 
No, io come definizione ho la seguente:
X spazio topologico si dice connesso se non è possibile spezzarlo con due aperti disgiunti non vuoti.
Dopo di che negli appunti c'è da dimostrare l'equivalenza di questa definizione con altre 3, e non riuscivo per l'appunto a finirla...Avevo cominciato per assurdo come ha detto Martino, ma poi non so continuare... Altro indiziooo
Paola
X spazio topologico si dice connesso se non è possibile spezzarlo con due aperti disgiunti non vuoti.
Dopo di che negli appunti c'è da dimostrare l'equivalenza di questa definizione con altre 3, e non riuscivo per l'appunto a finirla...Avevo cominciato per assurdo come ha detto Martino, ma poi non so continuare... Altro indiziooo
Paola
ciao Paola! Potresti provare a dimostrare prima che:
X è unione di aperti disgiunti non vuoti $\iff$ X è unione di chiusi disgiunti non vuoti
Poi con questa equivalenza passi ad osservare un insieme chiuso e aperto non banale. Che succede?
P.S.: non è necessario seguire questa strada però ti potrebbe aiutare a chiarire le idee!
X è unione di aperti disgiunti non vuoti $\iff$ X è unione di chiusi disgiunti non vuoti
Poi con questa equivalenza passi ad osservare un insieme chiuso e aperto non banale. Che succede?
P.S.: non è necessario seguire questa strada però ti potrebbe aiutare a chiarire le idee!
Io brutalmente quando ho visto questo post ho pensato
- come prima cosa che il caldo e lo studio insieme giocano davvero brutti scherzi
- come seconda che tutte le possibili unioni di aperti di uno spazio topologico $X$ con aperti solo $X$ e $\emptyset$ sono $X uu X$, $X uu \emptyset$ $\emptyset uu \emptyset$: solo le prime due unioni danno $X$ e in particolare la prima unione non è disgiunta, mentre nella seconda unione uno dei due aperti è il vuoto. Quindi lo spazio è connesso.
Ok basta hai già risolto, scommetto (spero
)
- come prima cosa che il caldo e lo studio insieme giocano davvero brutti scherzi
- come seconda che tutte le possibili unioni di aperti di uno spazio topologico $X$ con aperti solo $X$ e $\emptyset$ sono $X uu X$, $X uu \emptyset$ $\emptyset uu \emptyset$: solo le prime due unioni danno $X$ e in particolare la prima unione non è disgiunta, mentre nella seconda unione uno dei due aperti è il vuoto. Quindi lo spazio è connesso.
Ok basta hai già risolto, scommetto (spero
)
Se per assurdo X non fosse connesso allora esisterebbero due aperti X1 e X2, disgiunti, la cui unione sarebbe X. Ne segue che il complementare di X1 è X2 e viceversa cioè X1 e X2 sarebbero anche chiusi, contro il fatto che gli unici aperti e chiusi sono X e il vuoto.
Scusate se non riesco a trattenermi dal ripetere le cose.
Se ci sono due aperti $A_1$ e $A_2$ , non vuoti tali che $A_1\cup A_2=X$ allora $A_1$ e $A_2$ sono
anche chiusi (il complementare di un aperto è un chiuso e $A_2=X-A_1$, $A_1=X-A_2$).
Se c'è un insieme $A\ne X$ $A\ne\emptyset$ aperto e chiuso, allora $A$ e $X-A$ sono due aperti non vuoti
disgiunti la cui unione dà tutto
Dunque le due definizioni sono equivalenti
Se ci sono due aperti $A_1$ e $A_2$ , non vuoti tali che $A_1\cup A_2=X$ allora $A_1$ e $A_2$ sono
anche chiusi (il complementare di un aperto è un chiuso e $A_2=X-A_1$, $A_1=X-A_2$).
Se c'è un insieme $A\ne X$ $A\ne\emptyset$ aperto e chiuso, allora $A$ e $X-A$ sono due aperti non vuoti
disgiunti la cui unione dà tutto
Dunque le due definizioni sono equivalenti
credo che l'ultimo intervento di ViciusGoblinEnters sia illuminante, ma temo che se Paola ha manifestato perplessità nell'accettare che il teorema sia "equivalente alla definizione" il dubbio formale resti. provo a rimanere il più legata possibile alla logica formale di base, prendendo spunto dalla definizione di Paola e dall'esempio di Vicius:
ipotesi: gli unici sottospazi di X aperti e chiusi sono X e $phi$
tesi: X è connesso
dimostrazione: supponiamo p.a. che X non sia connesso. allora esistono due insiemi aperti A, B, non vuoti, contenuti in X, tali che la loro intersezione è vuota e la loro unione è X. quindi A è il complementare di B rispetto ad X, e B è il complementare di A rispetto ad X. dunque A e B sono anche chiusi. ma A e B sono diversi sia da X sia dall'insieme vuoto, e sono sia aperti che chiusi. ma questo contraddice l'ipotesi. la contraddizione dipende dall'ipotesi di assurdo. dunque X è connesso. q.e.d.
spero di essere stata chiara. OK? ciao.
ipotesi: gli unici sottospazi di X aperti e chiusi sono X e $phi$
tesi: X è connesso
dimostrazione: supponiamo p.a. che X non sia connesso. allora esistono due insiemi aperti A, B, non vuoti, contenuti in X, tali che la loro intersezione è vuota e la loro unione è X. quindi A è il complementare di B rispetto ad X, e B è il complementare di A rispetto ad X. dunque A e B sono anche chiusi. ma A e B sono diversi sia da X sia dall'insieme vuoto, e sono sia aperti che chiusi. ma questo contraddice l'ipotesi. la contraddizione dipende dall'ipotesi di assurdo. dunque X è connesso. q.e.d.
spero di essere stata chiara. OK? ciao.
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