Dimostrazione teorema spettrale nel caso reale
Ciao a tutti, ho un problema con la dimostrazione del teorema spettrale.
Vi espongo cosa ho negli appunti.
Enunciato: Sia $V$ uno spazio vettoriale reale metrico, $T:Vrarr V$ un endomorfismo lineare. Esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di T $hArr$ T è simmetrico.
Dimostrazione:
1. $rarr$) Se esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di T allora la matrice associata a T è diagonale e dunque simmetrica, quindi l'endomorfismo è simmetrico.
2. $larr$) Se T è simmetrico devo trovare una base ortonormale di V composta da autovettori di T. Procedo per induzione su n. Se $n=1$ allora $dimV=1$ quindi la matrice associata all'endomorfismo è diagonale e tutti i vettori di V sono autovettori di T. Allora basta prendere un vettore di norma 1 per avere una base ortonormale.
$n-1$ vero
$n$ vero? Devo dimostrare che T ha almeno un autovalore reale. Gli autovalori, per definizione, sono le radici del polinomio caratteristico. Suppongo che esista sempre una radice reale del polinomio caratteristico (dimostrazione omessa).
Dunque $EE lambda_1 in Spec(T)$ (dove Spec(T) è lo spettro di T, cioè l'insieme degli autovalori). Sia $v_1$ autovettore relativo a $lambda_1$ con $||v_1||=1$.
Adesso iniziano i miei problemi.
(grazie all'ultima affermazione) $rArrU=Rv_1rArrT(U)subeUrArrT(U^_|_)subeU^_|_$ perchè T è simmetrico per ipotesi. Adesso non capisco perché ed in che modo uso l'ipotesi induttiva $dimU^_|_=n-1$ e affermo che ${v_2,...,v_n}$ sono base di $U^_|_$ costituita da autovettori di T$rArr{v_1,...,v_n}$ è una base ortonormale di V costituita da autovettori di T.
Vi sarei grato se riuscite a spiegarmi meglio le ultime 2/3 righe di dimostrazione, per il resto ci sono.
Vi espongo cosa ho negli appunti.
Enunciato: Sia $V$ uno spazio vettoriale reale metrico, $T:Vrarr V$ un endomorfismo lineare. Esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di T $hArr$ T è simmetrico.
Dimostrazione:
1. $rarr$) Se esiste una base ortonormale di V composta da autovettori di T allora la matrice associata a T è diagonale e dunque simmetrica, quindi l'endomorfismo è simmetrico.
2. $larr$) Se T è simmetrico devo trovare una base ortonormale di V composta da autovettori di T. Procedo per induzione su n. Se $n=1$ allora $dimV=1$ quindi la matrice associata all'endomorfismo è diagonale e tutti i vettori di V sono autovettori di T. Allora basta prendere un vettore di norma 1 per avere una base ortonormale.
$n-1$ vero
$n$ vero? Devo dimostrare che T ha almeno un autovalore reale. Gli autovalori, per definizione, sono le radici del polinomio caratteristico. Suppongo che esista sempre una radice reale del polinomio caratteristico (dimostrazione omessa).
Dunque $EE lambda_1 in Spec(T)$ (dove Spec(T) è lo spettro di T, cioè l'insieme degli autovalori). Sia $v_1$ autovettore relativo a $lambda_1$ con $||v_1||=1$.
Adesso iniziano i miei problemi.
(grazie all'ultima affermazione) $rArrU=Rv_1rArrT(U)subeUrArrT(U^_|_)subeU^_|_$ perchè T è simmetrico per ipotesi. Adesso non capisco perché ed in che modo uso l'ipotesi induttiva $dimU^_|_=n-1$ e affermo che ${v_2,...,v_n}$ sono base di $U^_|_$ costituita da autovettori di T$rArr{v_1,...,v_n}$ è una base ortonormale di V costituita da autovettori di T.
Vi sarei grato se riuscite a spiegarmi meglio le ultime 2/3 righe di dimostrazione, per il resto ci sono.
Risposte
Ragazzi domani ho l'esami, mi potreste aiutare?
Se non ho capito male, restringi \(\displaystyle T\) al complemento ortogonale di \(\displaystyle\langle v_1\rangle\) ed applichi l'ipotesi induttiva...
"j18eos":
restringi \(\displaystyle T\) al complemento ortogonale di \(\displaystyle\langle v_1\rangle\)
Cosa intendi per "restringi"?
Siccome $T(U^\bot)\subset U^\bot$, puoi considerare l'operatore \(\left.T\right|_{U^\bot}\colon U^\bot\to U^\bot\). È la ordinaria restrizione di una funzione ad un sottoinsieme del suo dominio. Adesso \(\left.T\right|_{U^\bot}\) è un operatore simmetrico e definito su uno spazio di una dimensione in meno, quindi puoi applicare l'ipotesi induttiva.
Spero sia chiaro, è una spiegazione raffazzonata (giusto perché hai urgenza). Se non capisci non ti scervellare sulla mia risposta, scervellati piuttosto sul tuo libro.
Spero sia chiaro, è una spiegazione raffazzonata (giusto perché hai urgenza). Se non capisci non ti scervellare sulla mia risposta, scervellati piuttosto sul tuo libro.
Ti ringrazio, ma non abbiamo fatto le restrizioni. A meno che la prof non le abbia chiamate con un altro nome. Ti ringrazio ancora.
Ma si. Se hai una funzione \(f\colon A\to B\), e se \(A'\subset A\), la restrizione \(\left. f\right|_{A'}\) è la funzione definita da
\[
\left.f\right|_{A'}(x)=f(x),\quad \forall x\in A'.\]
\[
\left.f\right|_{A'}(x)=f(x),\quad \forall x\in A'.\]
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