Dimostrazione teorema nullità più rango
Ciao, sto leggendo la dimostrazione da Wikipedia del teorema della nullità più rango (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango), ed ho dei piccoli dubbi:
Quando si vuole dimostrare l'indipendenza lineare dei vettori {f(V[size=85]r+1[/size]),...,f(V[size=85]n[/size])}, grazie alle proprietà delle funzioni lineari trasforma il tutto in f(X[size=85]r+1[/size]V[size=85]r+1[/size],...,X[size=85]n[/size]V[size=85]n[/size])=0.
L'argomento di f appartiene dunque al kernel, e alla fine dimostra che quella combinazione lineare fa zero se solo se ogni X è zero (per comodità sto scrivendo X invece di lambda).
Il mio dubbio è:
1) Perchè utilizza questo fatto del kernel quando per ipotesi V[size=85]r+1[/size],...,V[size=85]n[/size] appartiene ad una base e dunque a un sistema libero? Non basta già questo a dire che è sicuramente indipendente?
2) Una volta che abbiamo capito che l'ARGOMENTO di f è indipendente, come fa a dire che anche le sue immagini lo sono? In generale se l'argomento è indipendente non è detto che anche le sue immagini lo sono.
Mi spiego meglio:
Dimostra che X[size=85]r[/size]V[size=85]r[/size],...,X[size=85]n[/size]V[size=85]n[/size] è indipendente, ma noi dobbiamo dimostrare che è indipendente X[size=85]r+1[/size]*f(V[size=85]r+1[/size])+...+X[size=85]n[/size]*f(V[size=85]n[/size]). Le due combinazioni lineari non sono equivalenti (nella prima manca del tutto la funzione).
Grazie mille.
Quando si vuole dimostrare l'indipendenza lineare dei vettori {f(V[size=85]r+1[/size]),...,f(V[size=85]n[/size])}, grazie alle proprietà delle funzioni lineari trasforma il tutto in f(X[size=85]r+1[/size]V[size=85]r+1[/size],...,X[size=85]n[/size]V[size=85]n[/size])=0.
L'argomento di f appartiene dunque al kernel, e alla fine dimostra che quella combinazione lineare fa zero se solo se ogni X è zero (per comodità sto scrivendo X invece di lambda).
Il mio dubbio è:
1) Perchè utilizza questo fatto del kernel quando per ipotesi V[size=85]r+1[/size],...,V[size=85]n[/size] appartiene ad una base e dunque a un sistema libero? Non basta già questo a dire che è sicuramente indipendente?
2) Una volta che abbiamo capito che l'ARGOMENTO di f è indipendente, come fa a dire che anche le sue immagini lo sono? In generale se l'argomento è indipendente non è detto che anche le sue immagini lo sono.
Mi spiego meglio:
Dimostra che X[size=85]r[/size]V[size=85]r[/size],...,X[size=85]n[/size]V[size=85]n[/size] è indipendente, ma noi dobbiamo dimostrare che è indipendente X[size=85]r+1[/size]*f(V[size=85]r+1[/size])+...+X[size=85]n[/size]*f(V[size=85]n[/size]). Le due combinazioni lineari non sono equivalenti (nella prima manca del tutto la funzione).
Grazie mille.
Risposte
La dimostrazione riportata su Wikipedia è corretta
Se $sum_(k=r+1)^(n)a_kf(v_k)=0$ allora il vettore $sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k$ deve appartenere al nucleo necessariamente, questo ti dice che può essere scritto come combinazione lineare dei vettori del nucleo e qui interviene il fatto che compaiono solo vettori di una base pertanto tutti i coefficienti devono essere nulli
Se $sum_(k=r+1)^(n)a_kf(v_k)=0$ allora il vettore $sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k$ deve appartenere al nucleo necessariamente, questo ti dice che può essere scritto come combinazione lineare dei vettori del nucleo e qui interviene il fatto che compaiono solo vettori di una base pertanto tutti i coefficienti devono essere nulli
Grazie mille.
Quindi se dimostro che i vettori del nucleo sono linearmente indipendenti, allora anche la loro immagine è indipendente?
Quindi se dimostro che i vettori del nucleo sono linearmente indipendenti, allora anche la loro immagine è indipendente?
Le immagini dei vettori del nucleo non c’entrano niente sono sempre nulle.
Gli step sono i seguenti:
0. Hai una applicazione lineare $L:V->W$
1. Fissi una base $B_1={v_1,...,v_r}$ di $Ker(L)$
2. Completi la base di $Ker(L)$ ad una base di $V$ -> $B={underbrace(v_1,...,v_r)_(in Ker(L)),v_(r+1),...,v_n}$
3. Sai che l’immagine è generata da una qualsiasi base dello spazio di partenza e quindi
4. I vettori $v_1,...,v_r$ sono nel nucleo quindi $L(v_1),...,L(v_r)$ sono tutti il vettore nullo pertanto
La dimensione del nucleo è $r$ per ipotesi e la dimensione di $L(V)$ è minore od uguale a $n-r$ quindi basta dimostrare che è esattamente uguale a $n-r$ per concludere e questo si ottiene se i vettori $L(v_(r+1)),...,L(v_n)$ sono linearmente indipendenti
5. Dimostri che i vettori sono linearmente indipendenti
Prendi una sequenza di scalari e imponi che sia $sum_(k=r+1)^(n)a_kL(v_k)=0$
Per la linearità di $L$ si ha $sum_(k=r+1)^(n)a_kL(v_k)=L(sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k)=0$
Questo essere uguale a $0$ ti dice che il vettore $sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k in Ker(L)$ e quindi si può scrivere come combinazione lineare dei vettori che generano il nucleo ossia
Essendo una equazione con soli vettori di una base gli scalari devono essere tutti nulli e in particolare gli $a_(r+1),...,a_n$ sono nulli pertanto otteniamo che al passo 5 ogni sequenza di scalari che accompagna una combinazione lineare degli $L(v_i)$ ci ritorna scalari nulli; pertanto sono linearmente indipendenti
Gli step sono i seguenti:
0. Hai una applicazione lineare $L:V->W$
1. Fissi una base $B_1={v_1,...,v_r}$ di $Ker(L)$
2. Completi la base di $Ker(L)$ ad una base di $V$ -> $B={underbrace(v_1,...,v_r)_(in Ker(L)),v_(r+1),...,v_n}$
3. Sai che l’immagine è generata da una qualsiasi base dello spazio di partenza e quindi
$L(V):=Im(L)=<>$
4. I vettori $v_1,...,v_r$ sono nel nucleo quindi $L(v_1),...,L(v_r)$ sono tutti il vettore nullo pertanto
$L(V)=<>=<>$
La dimensione del nucleo è $r$ per ipotesi e la dimensione di $L(V)$ è minore od uguale a $n-r$ quindi basta dimostrare che è esattamente uguale a $n-r$ per concludere e questo si ottiene se i vettori $L(v_(r+1)),...,L(v_n)$ sono linearmente indipendenti
5. Dimostri che i vettori sono linearmente indipendenti
Prendi una sequenza di scalari e imponi che sia $sum_(k=r+1)^(n)a_kL(v_k)=0$
Per la linearità di $L$ si ha $sum_(k=r+1)^(n)a_kL(v_k)=L(sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k)=0$
Questo essere uguale a $0$ ti dice che il vettore $sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k in Ker(L)$ e quindi si può scrivere come combinazione lineare dei vettori che generano il nucleo ossia
$sum_(k=r+1)^(n)a_kv_k=sum_(k=1)^(r)b_kv_k$
Essendo una equazione con soli vettori di una base gli scalari devono essere tutti nulli e in particolare gli $a_(r+1),...,a_n$ sono nulli pertanto otteniamo che al passo 5 ogni sequenza di scalari che accompagna una combinazione lineare degli $L(v_i)$ ci ritorna scalari nulli; pertanto sono linearmente indipendenti
Grazie mille!!!
Che fesso che sono, stavo pensando a un sacco di cose che non c'entravano nulla, di nuovo grazie infinite
Che fesso che sono, stavo pensando a un sacco di cose che non c'entravano nulla, di nuovo grazie infinite
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