Dimostrazione Teorema di Cayley
Salve a tutti sto studiando per l'orale di geomtria 2 ma non riesco a capire questa dimostrazione fatta dal docente.
Il teorema di Cayley ci dice che se abbiamo un gruppo $G$, finito di ordine $n$, allora $G$ è isomorfo a un sottogruppo del gruppo simmetrico $S_n$.
Dimostrazione.
$G$ è finito di ordine $n$ allora lo posso indicare come $G={a_1, ..., a_n}$.
Ora per ogni intero $i=1,...,n$ ho l'applicazione $\alpha_i=((a_1, ..., a_n),(a_ia_1, ...,a_ia_n))$ che è una permutazione di $S_n$.
Ho così definito una applicazione $\phi$ di $G$ in $S_n$ tale che $\phi(a_i)=\alpha_i$
Ora dati due elementi $a_h$ e $a_k$ di $G$ trovo che $\phi(a_h)\phi(a_k)=\phi(a_ha_k)$ quindi $\phi$ è un omomorfismo di $G$ in $S_n$.
Ma allora $\phi(G)= {\alpha_1, ..., \alpha_n}$ è un sottogruppo di $S_n$.
Mi rimane da vedere se $\phi$ è biiettiva.
Siano $u$ l'elemento neutro di $G$ e $a_h$ un elemento del nucleo di $\phi$, cioè dell'insieme $K_\phi$.
Allora $\phi(a_h)=\alpha_h=id$ quindi $\alpha_h(u)=u$. Per cui ho $\alpha_h(u)=a_hu=a_h$ ma allora $a_h=u$.
Ne segue che $K_\phi={u}$ quindi $\phi$ è iniettiva.
E fin qui ci sono.
Ora devo dimostrare che sia pure suriettiva in quanto devo avere una applicazione biiettiva perchè $G$ sia isomorfo a $S_n$.
La dimostrazione però continua con un semplice "Essa è pertanto una biiezione di $G$ in $\phi(G)$, che risultano così isomorfi"
Perchè? Dove trovo che la $\phi$ sia anche suriettiva? Ho pensato che siccome va in un sottogruppo di $S_n$, quindi di permutazioni, sia implicitamente suriettiva, ma allora era già iniettiva per costruzione dato che una permutazione è una applicazione biiettiva.
Qualcuno che ne sà più di me? Grazie!!!
Il teorema di Cayley ci dice che se abbiamo un gruppo $G$, finito di ordine $n$, allora $G$ è isomorfo a un sottogruppo del gruppo simmetrico $S_n$.
Dimostrazione.
$G$ è finito di ordine $n$ allora lo posso indicare come $G={a_1, ..., a_n}$.
Ora per ogni intero $i=1,...,n$ ho l'applicazione $\alpha_i=((a_1, ..., a_n),(a_ia_1, ...,a_ia_n))$ che è una permutazione di $S_n$.
Ho così definito una applicazione $\phi$ di $G$ in $S_n$ tale che $\phi(a_i)=\alpha_i$
Ora dati due elementi $a_h$ e $a_k$ di $G$ trovo che $\phi(a_h)\phi(a_k)=\phi(a_ha_k)$ quindi $\phi$ è un omomorfismo di $G$ in $S_n$.
Ma allora $\phi(G)= {\alpha_1, ..., \alpha_n}$ è un sottogruppo di $S_n$.
Mi rimane da vedere se $\phi$ è biiettiva.
Siano $u$ l'elemento neutro di $G$ e $a_h$ un elemento del nucleo di $\phi$, cioè dell'insieme $K_\phi$.
Allora $\phi(a_h)=\alpha_h=id$ quindi $\alpha_h(u)=u$. Per cui ho $\alpha_h(u)=a_hu=a_h$ ma allora $a_h=u$.
Ne segue che $K_\phi={u}$ quindi $\phi$ è iniettiva.
E fin qui ci sono.
Ora devo dimostrare che sia pure suriettiva in quanto devo avere una applicazione biiettiva perchè $G$ sia isomorfo a $S_n$.
La dimostrazione però continua con un semplice "Essa è pertanto una biiezione di $G$ in $\phi(G)$, che risultano così isomorfi"
Perchè? Dove trovo che la $\phi$ sia anche suriettiva? Ho pensato che siccome va in un sottogruppo di $S_n$, quindi di permutazioni, sia implicitamente suriettiva, ma allora era già iniettiva per costruzione dato che una permutazione è una applicazione biiettiva.
Qualcuno che ne sà più di me? Grazie!!!
Risposte
Una qualsiasi funzione è suriettiva sulla sua immagine...[ot]Che schifo di dimostrazione![/ot]
Ok quindi è suriettiva per costruzione.
Mi dispiace che non ti piaccia ma io questa c'ho e questa me devo tene.
Mi dispiace che non ti piaccia ma io questa c'ho e questa me devo tene.
Non comprendo il bisogno di fare continuamente riferimento agli oggetti di \(G\) come ad una sequenza \(\{a_i\}\). È inutile ai fini della dimostrazione.
Non è suriettiva per costruzione: richiedere che la funzione sia suriettiva è una richiesta inutile del tuo professore. L'unica richiesta che aveva era la iniettività. Una funzione \(\displaystyle f\colon G\to H \) è suriettiva rispetto a \(f(G)\) per definizione di immagine. Insomma indipendentemente dalla funzione \(\displaystyle f \), e dagli insiemi \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle H \) (purché siano non vuoti). Insomma ha solo detto che doveva dimostrare qualcosa e poi ha ristretto la sua attenzione ad un caso in cui era banalmente così. È un passaggio inutile.
Non è suriettiva per costruzione: richiedere che la funzione sia suriettiva è una richiesta inutile del tuo professore. L'unica richiesta che aveva era la iniettività. Una funzione \(\displaystyle f\colon G\to H \) è suriettiva rispetto a \(f(G)\) per definizione di immagine. Insomma indipendentemente dalla funzione \(\displaystyle f \), e dagli insiemi \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle H \) (purché siano non vuoti). Insomma ha solo detto che doveva dimostrare qualcosa e poi ha ristretto la sua attenzione ad un caso in cui era banalmente così. È un passaggio inutile.
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