Dimostrazione sulle applicazioni lineari
devo dimostrare che $dimHom(V,W)=dimVdimW$
chiamo dimV=n e dim W=m. Ho scelto una base B di V e una base C di W.
perndho questi due spazi vettoriali:
$Hom(V,W)$ e $M(mxn,K)$ di cui conosco perfettamente la dimensione che è $mxn$. definisco un'applicazione lineare tra i due e la chiamo $M_C^B(T)$ è devo dimostrare che è un isomorfismo, cioè una funzione lineare, e biettiva.
ho difficoltà ha dimostrare la seconda proprietà della linearità, cioè
$ AA lambda in K$ e $AA T in Hom(V,W)$ $lambdaM_C^B(T)=M_C^B(lambdaT)$
innanzitutto è questo che devo fare, cioè è giusto quello che ho scritto sopra?
stesso problema anche con l'iniettività: devo dimostrare che $M_C^B(T)=0$?? o per dire che è iniettiva devo fare qualcosa altro?
chiamo dimV=n e dim W=m. Ho scelto una base B di V e una base C di W.
perndho questi due spazi vettoriali:
$Hom(V,W)$ e $M(mxn,K)$ di cui conosco perfettamente la dimensione che è $mxn$. definisco un'applicazione lineare tra i due e la chiamo $M_C^B(T)$ è devo dimostrare che è un isomorfismo, cioè una funzione lineare, e biettiva.
ho difficoltà ha dimostrare la seconda proprietà della linearità, cioè
$ AA lambda in K$ e $AA T in Hom(V,W)$ $lambdaM_C^B(T)=M_C^B(lambdaT)$
innanzitutto è questo che devo fare, cioè è giusto quello che ho scritto sopra?
stesso problema anche con l'iniettività: devo dimostrare che $M_C^B(T)=0$?? o per dire che è iniettiva devo fare qualcosa altro?
Risposte
"blabla":Sì, è esattamente quello che devi mostrare.
$ AA lambda in K$ e $AA T in Hom(V,W)$ $lambdaM_C^B(T)=M_C^B(lambdaT)$
innanzitutto è questo che devo fare, cioè è giusto quello che ho scritto sopra?
"blabla":No, qui devi mostrare che se $T\in Hom(V,W)$ è tale che $M_C^B(T)=0$ (cioè la matrice associata a $T$ rispetto alle basi fissate è nulla) allora $T=0$.
stesso problema anche con l'iniettività: devo dimostrare che $M_C^B(T)=0$??
ok grazie un altro paio di domande sugli spazi duali.
la definizione di spazio duale è questa:
Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Lo spazio duale è lo spazio vettoriale Hom(V,K), che quindi comprende l'insieme Hom(V,K), la somma definita in Hom(V,K) e il prodotto funzione per scalare definito cosi:
$ AA lambda in K$ e $AA v in V$ $lambdaf(v)=f(lambdav)$
dire $ AA lambda in K$, quel $lambda$ è un elemento del codominio o da dove viene viene? cioè chi è quel K?
ah, un'altra cosa
io so che
$dimHom(V,K)=dimVdimK$
ma la dimensione di K è sempre uguale a uno, perchè?
la definizione di spazio duale è questa:
Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Lo spazio duale è lo spazio vettoriale Hom(V,K), che quindi comprende l'insieme Hom(V,K), la somma definita in Hom(V,K) e il prodotto funzione per scalare definito cosi:
$ AA lambda in K$ e $AA v in V$ $lambdaf(v)=f(lambdav)$
dire $ AA lambda in K$, quel $lambda$ è un elemento del codominio o da dove viene viene? cioè chi è quel K?
ah, un'altra cosa
io so che
$dimHom(V,K)=dimVdimK$
ma la dimensione di K è sempre uguale a uno, perchè?
"blabla":
Hom(V,K) e il prodotto funzione per scalare definito cosi:
$ AA lambda in K$ e $AA v in V$ $lambdaf(v)=f(lambdav)$
dire $ AA lambda in K$, quel $lambda$ è un elemento del codominio o da dove viene viene? cioè chi è quel K?
Appunto, stai definendo il prodotto fra lo scalare $lambda$ e la funzione $f$ ottenendo lanuova funzione $lambda f$.
$lambda$ è semplicemente uno scalare.
Non cambia niente rispetto alla solita definizione di prodotto di uno scalare $lambda$ per una funzione $f\in Hom(V,W)$. Ora $W=K$.
"blabla":
ma la dimensione di K è sempre uguale a uno, perchè?
Devi ricordare cos'è la dimensione di uno spazio vettoriale: è il numero di vettori di una base.
Conosci una base di $K$ visto come spazio vettoriale su $K$ stesso?
una base costituita dal solo numero 1?
Certo, perché ogni elemento $a$ di $K$ si può scrivere (unicamente) come combinazione lineare di $1$, come $a=a\cdot 1$.
Quindi:
base formata da un solo vettore $\Rightarrow" dim"K=1$
Quindi:
base formata da un solo vettore $\Rightarrow" dim"K=1$
ma allora dire che K è un campo o uno spazio vettoriale di dimensione uno è la stessa e identica cosa?
Tieni conto che su spazio vettoriale $V$ generico di dimensione $1$ non è definita la moltiplicazione fra due suoi elementi.
Parlare di $V$ come di un campo mi sembra un po' improprio.
Ti basta sapere che se $K$ è un campo allora $K$ è uno spazio vettoriale su se stesso di dimensione $1$ e la spiegazione è quella data in precedenza.
Per poterne parlare dovresti fare qualche identificazione mediante una bigezione che si costruisce in maniera abbastanza naturale, ma non voglio dilungarmi.
Ho il timore di confonderti le idee. Quindi puoi tranquillamente ignorare questa seconda parte.
Parlare di $V$ come di un campo mi sembra un po' improprio.
Ti basta sapere che se $K$ è un campo allora $K$ è uno spazio vettoriale su se stesso di dimensione $1$ e la spiegazione è quella data in precedenza.
Per poterne parlare dovresti fare qualche identificazione mediante una bigezione che si costruisce in maniera abbastanza naturale, ma non voglio dilungarmi.
Ho il timore di confonderti le idee. Quindi puoi tranquillamente ignorare questa seconda parte.
ok grazie...altra domanda e ultima per oggi, sui miei appunti ho scritto "la base duale" di Hom(V,K) e non una base duale di Hom(V,K)...è un errore o Hom(V,K) ha solo un'unica base?
Probabilmente avrai saltato qualche complemento di specificazione nei tuoi appunti.
Fissata una base [tex]e=(e_1,...e_n)[/tex] di [tex]V[/tex], puoi ottenere LA base di [tex]V^*=Hom(V,\mathbb{K})[/tex] duale di [tex]e[/tex].
Fissata una base di [tex]V[/tex] hai la sua base duale (che è una base di [tex]V^*[/tex]). Cambi base e cambia di conseguenza la base duale.
Fissata una base [tex]e=(e_1,...e_n)[/tex] di [tex]V[/tex], puoi ottenere LA base di [tex]V^*=Hom(V,\mathbb{K})[/tex] duale di [tex]e[/tex].
Fissata una base di [tex]V[/tex] hai la sua base duale (che è una base di [tex]V^*[/tex]). Cambi base e cambia di conseguenza la base duale.
altra domanda:
$(ImT)$ ortgonale è l'insieme di tutte le funzione lineari da V a K e che si annullano su tutti gli elementi di ImT?
e KerT ortogonale, che cosa è? è un sottospazio di V duale?
$(ImT)$ ortgonale è l'insieme di tutte le funzione lineari da V a K e che si annullano su tutti gli elementi di ImT?
e KerT ortogonale, che cosa è? è un sottospazio di V duale?
E $T$ cos'è? Non è un'applicazione come prima nella forma $T:V\to W$, vero?
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