Dimostrazione sulla trasposta di una matrice inversa
Ciao a tutti!
sto svolgendo qualche esercizio sulle matrici e non riesco a sbloccarmi dalla dimostrazione richiesta in uno di essi. Vorrei capire un po' come procedere in questo genere di situazioni perchè ho un paio di mezze idee ma non so se sono sensate o se portano da qualche parte, quindi mi sarebbe molto utile una spiegazione o una soluzione.
L'esercizio è il seguente
Sia $A$ una matrice invertibile $n$x$n$. Dimostrare che
$t(A^(-1))$ $ = $ $ (tA)^(-1)$
t starebbe a indicare la trasposta. Purtroppo non riesco a metterla a mo' di indice come si dovrebbe, quindi la metterò prima di ogni matrice. spero non sia un problema e che si riesca a capire
Ecco quello che ho fatto
$t(A^(-1))$ $ = $ $t(A^(-1) I)$ = $tA^(-1)$ $ tI$ $ = $ $tA^(-1)$
Dove nella seconda uguaglianza ho usato un teorema relativo alle matrici moltiplicabili che mi assicura che se B e C sono moltiplicabili, allora lo sono anche le loro trasposte e si ha che la trasposta della matrice BC è uguale al prodotto matriciale tra tC e tB.
Ora, già da qui non so più come muovermi, quindi ho due domande: 1) va bene quel poco che ho fatto finora? 2) se sì, come faccio a procedere?
Se qualcuno potesse inoltre mostrarmi la dimostrazione rigorosa mi sarebbe di grande aiuto.
Ringrazio in anticipo tutti per la disponibilità
sto svolgendo qualche esercizio sulle matrici e non riesco a sbloccarmi dalla dimostrazione richiesta in uno di essi. Vorrei capire un po' come procedere in questo genere di situazioni perchè ho un paio di mezze idee ma non so se sono sensate o se portano da qualche parte, quindi mi sarebbe molto utile una spiegazione o una soluzione.
L'esercizio è il seguente
Sia $A$ una matrice invertibile $n$x$n$. Dimostrare che
$t(A^(-1))$ $ = $ $ (tA)^(-1)$
t starebbe a indicare la trasposta. Purtroppo non riesco a metterla a mo' di indice come si dovrebbe, quindi la metterò prima di ogni matrice. spero non sia un problema e che si riesca a capire
Ecco quello che ho fatto
$t(A^(-1))$ $ = $ $t(A^(-1) I)$ = $tA^(-1)$ $ tI$ $ = $ $tA^(-1)$
Dove nella seconda uguaglianza ho usato un teorema relativo alle matrici moltiplicabili che mi assicura che se B e C sono moltiplicabili, allora lo sono anche le loro trasposte e si ha che la trasposta della matrice BC è uguale al prodotto matriciale tra tC e tB.
Ora, già da qui non so più come muovermi, quindi ho due domande: 1) va bene quel poco che ho fatto finora? 2) se sì, come faccio a procedere?
Se qualcuno potesse inoltre mostrarmi la dimostrazione rigorosa mi sarebbe di grande aiuto.
Ringrazio in anticipo tutti per la disponibilità
Risposte
Nella modalità latex un codice comune è
Tu vuoi dimostrare che \(\displaystyle (\,{\vphantom{A}^t}\!\!A)^{-1} = {\vphantom{(}^t}\!(A^{-1}) \).
Siccome \(\displaystyle \det \,{\vphantom{A}^t}\!\!A = \det A \neq 0 \) per ipotesi, tu sai che entrambi i lati dell'uguaglianza esistono. Si ha quindi che \(\displaystyle I = {\vphantom{I}^t}\!I = {\vphantom{(}^t}\!(AA^{-1}) = {\vphantom{(}^t}\!(A^{-1})\,{\vphantom{(}^t}\!A \). E per l'unicità dell'inverso in un gruppo si deve avere il risultato.
Nella tua mi sembra che manchi qualcosa.
{\vphantom{A}^t}A con eventualmente l'aggiunta di spazi positivi e negativi per spostare la \(\displaystyle t \) meglio o, sul forum, anche solo {{}^t}ATu vuoi dimostrare che \(\displaystyle (\,{\vphantom{A}^t}\!\!A)^{-1} = {\vphantom{(}^t}\!(A^{-1}) \).
Siccome \(\displaystyle \det \,{\vphantom{A}^t}\!\!A = \det A \neq 0 \) per ipotesi, tu sai che entrambi i lati dell'uguaglianza esistono. Si ha quindi che \(\displaystyle I = {\vphantom{I}^t}\!I = {\vphantom{(}^t}\!(AA^{-1}) = {\vphantom{(}^t}\!(A^{-1})\,{\vphantom{(}^t}\!A \). E per l'unicità dell'inverso in un gruppo si deve avere il risultato.
Nella tua mi sembra che manchi qualcosa.
Grazie mille vict85 per l'aiuto coi codici e con la dimostrazione!
Avrei però qualche dubbio/problema:
1) Il motivo per cui si deve avere $det {{}^t}A = det A != 0$ è una condizione necessaria per l'esistenza della matrice inversa giusto? quindi quando dici che per ipotesi so che entrambi i lati dell'uguaglianza esistono stai affermando che sono soddisfatte le condizioni per cui esistono sia l'inversa della trasposta che la trasposta dell'inversa giusto? O vi è qualche altro significato che mi sono perso?
2)ho capito tutte le uguaglianze che svolgi, ma non ho capito come arrivare al risultato che volevo nè come mai esso sia un implicazione dell'unicità dell'inverso.
grazie ancora per l'aiuto e per la pazienza
Avrei però qualche dubbio/problema:
1) Il motivo per cui si deve avere $det {{}^t}A = det A != 0$ è una condizione necessaria per l'esistenza della matrice inversa giusto? quindi quando dici che per ipotesi so che entrambi i lati dell'uguaglianza esistono stai affermando che sono soddisfatte le condizioni per cui esistono sia l'inversa della trasposta che la trasposta dell'inversa giusto? O vi è qualche altro significato che mi sono perso?
2)ho capito tutte le uguaglianze che svolgi, ma non ho capito come arrivare al risultato che volevo nè come mai esso sia un implicazione dell'unicità dell'inverso.
grazie ancora per l'aiuto e per la pazienza
Per il punto 1, mi stavo assicurando che le due matrici esistessero entrambe.
Per il punto 2, dati due inversi \(v\) e \(w\) di un elemento \(g\) in un gruppo \(G\) si ha che \(v = v1 = v(gw) = (vg)w = 1w = w\). Questo significa che se in un gruppo trovo una identità del tipo \(wg = 1\) allora \(w = g^{-1}\) e \(g = w^{-1}\).
Nel caso specifico della dimostrazione siccome \(\displaystyle I = {\vphantom{(}^t}\!(A^{-1})\,{\vphantom{A}^t}\!A\) allora \(\displaystyle {\vphantom{(}^t}\!(A^{-1}) = ({\vphantom{A}^t}\!A)^{-1} \)
Per il punto 2, dati due inversi \(v\) e \(w\) di un elemento \(g\) in un gruppo \(G\) si ha che \(v = v1 = v(gw) = (vg)w = 1w = w\). Questo significa che se in un gruppo trovo una identità del tipo \(wg = 1\) allora \(w = g^{-1}\) e \(g = w^{-1}\).
Nel caso specifico della dimostrazione siccome \(\displaystyle I = {\vphantom{(}^t}\!(A^{-1})\,{\vphantom{A}^t}\!A\) allora \(\displaystyle {\vphantom{(}^t}\!(A^{-1}) = ({\vphantom{A}^t}\!A)^{-1} \)
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