Dimostrazione sul perchè se il Det(A) = 0, allora le colonne di A sono linearmente dipendenti

[Giorgeous1]

Salve,
come da titolo, vorrei chiedervi aiuto. Il nostro professore ci ha detto di cercare sul testo la dimostrazione di:

Il determinante di una matrice quadrata è nullo se e solo se i vettori che sono le sue colonne sono linearmente dipendenti.

Un'implicazione mi è ovvia (ossia il: se i vettori colonna di A sono linearmente dipendenti, allora Det(A) = 0), ma l'altra mi risulta impossibile da dimostrare da solo, e purtroppo sul testo non c'è. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come si arriva a questa implicazione?

[cooper1]

guarda il corollario 1.20 di queste note.

[Giorgeous1]

Ciao, grazie per avermi risposto! Scusami se intervengo solo ora, ma lo studio mi ha reso la vita un po' piena ultimamente!
Comunque purtroppo il dubbio rimane! Mi spiego:
Sono riuscito a dimostrare da me che una matrice è invertibile se e solo se ha colonne linearmente indipendenti, e che il determinante di una matrice le cui colonne sono linearmente dipendenti(e che quindi non è invertibile) è nullo. Mi manca solo l'implicazione che ho chiesto sopra. La dimostrazione che mi hai dato mi dice solo che una matrice con colonne linearmente dipendenti non è invertibile, per cui ha determinante nullo.
Ma allora la mia domanda diventa: come posso essere sicuro che se il determinante di una matrice è nullo, allora questa non è invertibile?

[cooper1]

io so che: una matrice è invertibile $hArr$ il determinante è non nullo $hArr$ i vettori colonna/riga sono L.I. e questo l'hai dimostrato. per il contario usi la contronominale. se è nullo i vettori sono linearmente dipendenti ed allora non è invertibile.

[Giorgeous1]

Il mio problema è che so solo questo:

il determinante è non nullo $ rArr $ una matrice è invertibile $ hArr $ i vettori colonna/riga sono L.I.

A me mancano queste:

i vettori colonna/riga sono L.I. $ rArr $ il determinante è non nullo

oppure scritta nella forma:

la matrice è invertibile $ rArr $ il determinante è non nullo

[cooper1]

io userei la negazione. se il determinante è nullo allora non è invertibile. (neghi la prima implicazione che hai postato)

[Giorgeous1]

Esatto, il mio problema è proprio dimostrare questa cosa!

[cooper1]

quello che sto dicendo è che non la dimostrerei. sai che vale perchè neghi quell'altra che invece hai già dimostrato

[anto_zoolander]

Guardala con il rango e basta dimostrare:

sia $AinM_n(K)$
$det(A)ne0<=>r(A)=n$

\(\displaystyle \Leftarrow \)
se $r(A)=n=>(lambda_1A^1+lambda_2A^2+...+lambda_nA^n=0<=>lambda_1=lambda_2=...=lambda_n=0)$
Abbiamo visto che $det(A)$ è nullo se almeno una riga/colonna è combinazione lineare delle altre oppure se almeno una riga o colonna è nulla. Ma sicuramente sono non nulle perchè il rango di $A$ è massimo e siccome non è possibile esprimere una colonna come combinazione lineare delle altre, allora il determinante è non nullo(poiché se lo fosse si avrebbe che una delle colonne sarebbe linearmente dipendente dalle altre e dunque il rango non sarebbe massimo)

$=>$
supponiamo per assurdo che sia $r(A)nen$ allora il rango può essere $0 Poiché per definizione di rango $r(A)=dim_K$
Ovvero il massimo numero di colonne linearmente indipendenti, allora si avrebbe che almeno uno dei vettori colonna è dipendente dagli altri e dunque si avrebbe che $det(A)=0$, contro le ipotesi.
Dunque deve essere $r(A)=n$

Oppure con la contronominale è anche più facile e discorsivo

se il determinate è nullo allora abbiamo due casi:
Almeno una riga o colonna è nulla e quindi il rango scende
Almeno una riga o colonna è dipendente dalle altre e quindi il rango scende

se il rango non è massimo:
Una delle colonna è linearmente dipendente dalle altre e dunque il determinante è nullo

[Giorgeous1]

Grazie mille!