Dimostrazione su una proprietà del determinante

[osgalion]

Buonasera,

qualcuno di voi sa spiegarmi (o per lo meno darmi un input su) le seguenti proprietà? Valide per matrici quadrate di dimensione n:

Sia A una matrice quadrata di dimensione n.

1) det(A) = 0 se esiste una riga di A che è combinazione lineare di altre righe(vale anche il viceversa).
2) Aggiungendo ad una riga di A una combinazione lineare di altre righe, si ottiene una nuova matrice il cui determinante coincide con quello di A.

Sono riuscito a dimostrare altre proprietà, ma con queste due non so bene da dove iniziare. Le dimostrazioni sono state assegnate per esercizio, ed è richiesto di farle utilizzando i due teoremi di Laplace. Vi ringrazio in anticipo se qualcuno è così gentile da darmi una mano.

[marco2132k]

Ciao. Per la seconda domanda, prova a calcolare (senza sviluppare con Laplace) il determinante di una matrice della forma \( I+e_{ij} \) per \( i\neq j \), dove \( e_{ij} \) è la matrice che ha zero ovunque tranne che in \( (i,j) \).

"osgalion":ed è richiesto di farle utilizzando i due teoremi di Laplace

Sì, puoi anche usare lo sviluppo per minori (io ad esempio ho definito così il determinante, ma dalla definizione si ricavano di solito le proprietà delle matrici elementari e poi non viene più toccata. Insomma, prova a farlo in entrambi i modi).

[osgalion]

"marco2132k":Ciao. Per la seconda domanda, prova a calcolare (senza sviluppare con Laplace) il determinante di una matrice della forma \( I+e_{ij} \) per \( i\neq j \), dove \( e_{ij} \) è la matrice che ha zero ovunque tranne che in \( (i,j) \).

[quote="osgalion"]ed è richiesto di farle utilizzando i due teoremi di Laplace

Sì, puoi anche usare lo sviluppo per minori (io ad esempio ho definito così il determinante, ma dalla definizione si ricavano di solito le proprietà delle matrici elementari e poi non viene più toccata. Insomma, prova a farlo in entrambi i modi).[/quote]

Intanto grazie per la risposta In merito a ciò che mi hai suggerito, il determinante di quella somma non dovrebbe essere 1? A quel che so, il determinante di una matrice triangolare (e siamo in questo caso, visto che \( I+e_{ij} \) da luogo a una matrice triangolare) è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Ma non riesco a capire come questo possa aiutarmi.

[marco2132k]

"osgalion":il determinante di quella somma non dovrebbe essere 1?

Sì, il determinante di quella matrice elementare è uguale a uno. In 2) tu chiedi di dimostrare che aggiungendo una combinazione lineare di righe di una matrice \( A \) ad \( A \), il determinante non cambia. Nota che aggiungere una combinazione lineare ad una riga è la stessa cosa che moltiplicare la matrice \( A \) per una serie di matrici elementari \( L_k=L_{i_kj_k}(\alpha_k) \) della forma \( I+\alpha_ke_{ij} \) (nel primo messaggio avevo dimenticato di battere l'\( \alpha \), scusami; è la stessa cosa come puoi vedere). Allora, dato che il determinante è un omomorfismo sul gruppo moltiplicativo dei reali (ossia \( \det{AB}=\det{A}\det{B} \) per ogni matrice \( A \) e ogni matrice \( B \)), hai che \[ \det{L_k\dots L_{1}A}=\det{L_k}\cdots\det{L_1}\det{A}=1\cdots 1\det{A}=\det{A} \]