Dimostrazione su matrici simmetriche
Data una matrice simmetrica A nxn definita positiva dimostrare che CAC^T (C^T=C trasposto) è ancora una matrice quadrata simmetrica e semidefinita positiva. C è una matrice mxn.
Sono riuscito a dimostrare i primi due punti in particolare per il secondo ho prima dimostrato che CDC^T è simmetrica dove D è una matrice diagonale. Poi Ho riscritto A che è simmetrica come (U^T)DU da cui
CAC^T = C(U^T)DUC^T = ((UC^T)^T)DUC^T che per quanto detto sopra è simmetrica.
Ora se m=n C è quadrata e det(CAC^T)= det(C)*det(A)*det(C^T)=det(A)det(C)^2>=0.
C'è un modo di generalizzare per m \(\neq \) n??
Sono riuscito a dimostrare i primi due punti in particolare per il secondo ho prima dimostrato che CDC^T è simmetrica dove D è una matrice diagonale. Poi Ho riscritto A che è simmetrica come (U^T)DU da cui
CAC^T = C(U^T)DUC^T = ((UC^T)^T)DUC^T che per quanto detto sopra è simmetrica.
Ora se m=n C è quadrata e det(CAC^T)= det(C)*det(A)*det(C^T)=det(A)det(C)^2>=0.
C'è un modo di generalizzare per m \(\neq \) n??
Risposte
Per dimostrare la simmetria, puoi fare così (è un po' più semplice del tuo ragionamento). Sappiamo che [tex]A \in \mathbb{R}^{n \times n}[/tex], definita positiva e simmetrica ([tex]A^T=A[/tex]). Poni: [tex]B = CAC^T[/tex], dove [tex]C \in \mathbb{R}^{m \times n}[/tex] e osserva che $B$ è in generale una matrice quadrata [tex]m \times m[/tex]. Calcolando esplicitamente [tex]B^T[/tex], si ha:
[tex]B^T= (CAC^T)^T = C A^T C^T= CAC^T[/tex]
Quindi, [tex]B^T=B[/tex]. E questo dimostra la simmetria (senza ricorrere alla decomposizione spettrale).
Il fatto che $A$ sia definita positiva significa che: [tex]y^TAy>0 \ , y \in \mathbb{R}^{n \times 1}, \ y \neq 0[/tex] (i.e. $y$ è un generico vettore reale non-nullo). Questo, attenzione, deve valere per qualsiasi vettore reale (nx1) non-nullo. Sia, allora, [tex]x \neq 0[/tex] un generico vettore reale $m \times 1$. Affinché $B$ sia semidefinita positiva, deve valere: [tex]x^TBx \geq 0[/tex] ($x^TBx$ è uno scalare, lo posso chiamare anche $r$). Scomponendo $B$ e riconoscendo il vettore [tex]z=C^Tx[/tex] di dimensioni [tex]n \times 1[/tex], si ha:
[tex]r = x^TBx = x^T CAC^T x = z^TAz[/tex]
Ora ci sono due casi: se [tex]z=0[/tex], allora $r=0$. Se, invece, [tex]z \neq 0[/tex], allora quell'espressione è la stessa usata per dire che $A$ è definita positiva, quindi deve essere $r>0$. Mettendo assieme le due cose, $B$ è semidefinita positiva.
[tex]B^T= (CAC^T)^T = C A^T C^T= CAC^T[/tex]
Quindi, [tex]B^T=B[/tex]. E questo dimostra la simmetria (senza ricorrere alla decomposizione spettrale).
Il fatto che $A$ sia definita positiva significa che: [tex]y^TAy>0 \ , y \in \mathbb{R}^{n \times 1}, \ y \neq 0[/tex] (i.e. $y$ è un generico vettore reale non-nullo). Questo, attenzione, deve valere per qualsiasi vettore reale (nx1) non-nullo. Sia, allora, [tex]x \neq 0[/tex] un generico vettore reale $m \times 1$. Affinché $B$ sia semidefinita positiva, deve valere: [tex]x^TBx \geq 0[/tex] ($x^TBx$ è uno scalare, lo posso chiamare anche $r$). Scomponendo $B$ e riconoscendo il vettore [tex]z=C^Tx[/tex] di dimensioni [tex]n \times 1[/tex], si ha:
[tex]r = x^TBx = x^T CAC^T x = z^TAz[/tex]
Ora ci sono due casi: se [tex]z=0[/tex], allora $r=0$. Se, invece, [tex]z \neq 0[/tex], allora quell'espressione è la stessa usata per dire che $A$ è definita positiva, quindi deve essere $r>0$. Mettendo assieme le due cose, $B$ è semidefinita positiva.
Grazie mille molto chiaro!
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