Dimostrazione su invertibilità matrice

[Alxxx28]

Il teorema che ho cercato di dimostrare è questo:

Sia [tex]K[/tex] un generico campo.
Sia [tex]A\in M_n(K)[/tex], allora [tex]A\in GL_n(K) \Leftrightarrow r(A)=n[/tex]

Ipotesi: [tex]A\in GL_n(K)[/tex]
Tesi: [tex]r(a)=n[/tex]

Per la dimostrazione in questo verso, ragiono con la negazione della tesi, quindi per ipotesi [tex]r(A) Suppongo che [tex]\exists B : AB=I_n[/tex], quinidi [tex]B[/tex] è l' inversa di [tex]A[/tex].
Ovviamente [tex]r(I_n)=n[/tex] dato che i vettori riga (o i vettori colonna) formano la base canonica di [tex]K^n[/tex],
e questo implica che [tex]r(AB)=n[/tex].
L'ultima uguaglianza è assurda dato che per il teorema sul prodotto di due matrici, [tex]r(AB) \leq min \{r(A),r(B)\}[/tex],
e dato che dall'ipotesi [tex]r(A) A questo punto posso affermare che [tex]\nexists[/tex] l'inversa di [tex]A[/tex] e quindi [tex]A\notin GL_n(K)[/tex]

E' corretto il ragionamento, o c'è qualcosa di impreciso?

[cirasa]

E' giusto.

Comunque potevi evitare di ragionare per assurdo. Bastava una dimostrazione diretta.

L'esistenza della matrice [tex]B[/tex] inversa di [tex]A[/tex] è garantita dall'ipotesi [tex]A\in GL_n(K)[/tex].
Quindi
[tex]n=r(I_n)=r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\leq r(A)\leq n[/tex].
Da cui segue che necessariamente [tex]r(A)=n[/tex].

[Alxxx28]

Grazie, comunque l' ho dimostrato per assurdo giusto per esercizio

[asromavale1]

posto il seguente teorema ed enuncio il mio dubbio a riguardo



le implicazioni mi risultano chiare tranne l'ultima((ii)$\rightarrow$(i)) che il testo sembra dare per scontata .qualcuno mi espliciterbbe i passaggi?
grazie in anticipo