Dimostrazione su continuità e connessione
Salve a tutti.
Sto cercando di dimostrare un esercizio che posterò qui:
Siano $n\ge 2$ ed $f:S^n\rightarrow\mathbb{R}$ un'applicazione continua. Se $A:={t\in f(S^n)| |f^{-1}(t)|<\infty}$, dimostrare che $|A|\le 2$.
Potete dare una controllata alla mia dimostrazione per favore?
dim: Avevo pensato di dimostrarla per assurdo. L'idea che voglio seguire è quella di far vedere che, se $|A|>2$, allora $f$ non è continua, in quanto manda $S^n-f^-1(A)$ (connesso, perchè $|f^-1(A)|<\infty$[nota]Al più numerabile se $A$ è numerabile. Il problema è se $A$ è non numerabile...[/nota]) in $\f(S^n)-A$ (non connesso). Sfrutto il fatto che $f$ è continua ed $S^n$ è connesso. Per cui, riassumendo,devo dimostrare che, se per assurdo $|A|>2$ allora $\f(S^n)-A$ non è connesso.
$f(S^n)$ è un sottoinsieme connesso di $\mathbb{R}$, limitato o illimitato, poichè $f$ è continua.
1)Se $f(S^n)$ fosse limitato, quindi un intervallo $[a,b]$, e dovendo togliere $A$ (che ha almeno 3 punti) da tale insieme, posso pensare di togliere gli estremi (che sono due punti) e togliendo un qualsiasi altro terzo punto distinto dai primi due, sono sicuro di sconnettere $[a,b]$.
2)Se $f(S^n)$ fosse illimitato, potrebbe essere una semiretta (chiusa da un lato), per cui basterebbero due soli punti (che esistono sicuramente dato che $|A|>2$) per sconnettere $f(S^n)$. Se invece fosse tutta la retta, basterebbe togliere un solo punto per sconnetterla.
Allora $f(S^n)-A$ è sempre sconnesso se $|A|>2$. Dunque $f$ non è continua. Assurdo.
Manca qualcosa? (ammesso che 1) e 2) siano giuste, si possono dire meglio?) Grazie a tutti in anticipo.
Sto cercando di dimostrare un esercizio che posterò qui:
Siano $n\ge 2$ ed $f:S^n\rightarrow\mathbb{R}$ un'applicazione continua. Se $A:={t\in f(S^n)| |f^{-1}(t)|<\infty}$, dimostrare che $|A|\le 2$.
Potete dare una controllata alla mia dimostrazione per favore?
dim: Avevo pensato di dimostrarla per assurdo. L'idea che voglio seguire è quella di far vedere che, se $|A|>2$, allora $f$ non è continua, in quanto manda $S^n-f^-1(A)$ (connesso, perchè $|f^-1(A)|<\infty$[nota]Al più numerabile se $A$ è numerabile. Il problema è se $A$ è non numerabile...[/nota]) in $\f(S^n)-A$ (non connesso). Sfrutto il fatto che $f$ è continua ed $S^n$ è connesso. Per cui, riassumendo,devo dimostrare che, se per assurdo $|A|>2$ allora $\f(S^n)-A$ non è connesso.
$f(S^n)$ è un sottoinsieme connesso di $\mathbb{R}$, limitato o illimitato, poichè $f$ è continua.
1)Se $f(S^n)$ fosse limitato, quindi un intervallo $[a,b]$, e dovendo togliere $A$ (che ha almeno 3 punti) da tale insieme, posso pensare di togliere gli estremi (che sono due punti) e togliendo un qualsiasi altro terzo punto distinto dai primi due, sono sicuro di sconnettere $[a,b]$.
2)Se $f(S^n)$ fosse illimitato, potrebbe essere una semiretta (chiusa da un lato), per cui basterebbero due soli punti (che esistono sicuramente dato che $|A|>2$) per sconnettere $f(S^n)$. Se invece fosse tutta la retta, basterebbe togliere un solo punto per sconnetterla.
Allora $f(S^n)-A$ è sempre sconnesso se $|A|>2$. Dunque $f$ non è continua. Assurdo.
Manca qualcosa? (ammesso che 1) e 2) siano giuste, si possono dire meglio?) Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Nella parte 1) scriverei l'intervallo chiuso invece che aperto.
Pero' credo che manchi qualcosa nell'argomento. Infatti, a priori $A$ potrebbe essere infinito e se lo fosse non puoi dire che $f^{-1}(A)$ e' finito (e quindi l'argomento di connessione di $S^n - f^{-1}(A)$ fallisce).
Per escludere questo fatto bisogna lavorare un pochino di piu'. Ho un argomento che sfrutta il fatto che, dati due punti di $S^n$, ci sono infiniti archi, a due a due disgiunti, che collegano questi due punti. Supponiamo che $A$ contenga almeno tre punti $a,b,c$, con $a
Per connessione, l'immagine di ciascuna di queste curve deve contenere l'intervallo $[a,c]$. Ma allora otteniamo infinite preimmagini di $b$, contraddicendo il fatto che $b$ sia un punto di $A$.
Questo argomento dimostra che $S^n$ non e' omeomorfa a $S^1$ (ci sono modi piu' facili per dimostrarlo).
Una generalizzazione (credo...ma in ogni caso ce ne e' di strada da fare) di questo argomento, dove si sostituiscono alle curve oggetti piu' generali chiamati simplessi, e' alla base dell'omologia simpliciale di $S^n$, che viene usata per dimostrare che $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^m$ non sono omeomorfi se $n$ e' diverso da $m$.
Pero' credo che manchi qualcosa nell'argomento. Infatti, a priori $A$ potrebbe essere infinito e se lo fosse non puoi dire che $f^{-1}(A)$ e' finito (e quindi l'argomento di connessione di $S^n - f^{-1}(A)$ fallisce).
Per escludere questo fatto bisogna lavorare un pochino di piu'. Ho un argomento che sfrutta il fatto che, dati due punti di $S^n$, ci sono infiniti archi, a due a due disgiunti, che collegano questi due punti. Supponiamo che $A$ contenga almeno tre punti $a,b,c$, con $a
Per connessione, l'immagine di ciascuna di queste curve deve contenere l'intervallo $[a,c]$. Ma allora otteniamo infinite preimmagini di $b$, contraddicendo il fatto che $b$ sia un punto di $A$.
Questo argomento dimostra che $S^n$ non e' omeomorfa a $S^1$ (ci sono modi piu' facili per dimostrarlo).
Una generalizzazione (credo...ma in ogni caso ce ne e' di strada da fare) di questo argomento, dove si sostituiscono alle curve oggetti piu' generali chiamati simplessi, e' alla base dell'omologia simpliciale di $S^n$, che viene usata per dimostrare che $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^m$ non sono omeomorfi se $n$ e' diverso da $m$.
Intanto grazie della risposta. Veramente bella la tua dimostrazione.
Hai ragione. Correggo subito.
Penso che tu ti riferisca al caso $A$ non numerabile. Perchè se invece è numerabile, con un argomento che ricalca quello che hai usato nella tua dimostrazione, si riesce a dire che $S^n - f^-1(A)$ è connesso per archi.
Io dico che il vero problema sia dire che $A$ è al più numerabile. Non c'è modo di dirlo con argomenti non troppo complicati? Io non lo vedo, magari qualcuno ci riesce...
PS: ma anche tu hai il fastidiosissimo problema che il tuo account, ogni tanto, si slogga dopo meno di 5 minuti? Perchè a me fa così.
"Pappappero":
Nella parte 1) scriverei l'intervallo chiuso invece che aperto.
Hai ragione. Correggo subito.
"Pappappero":
Pero' credo che manchi qualcosa nell'argomento. Infatti, a priori $A$ potrebbe essere infinito e se lo fosse non puoi dire che $f^{-1}(A)$ e' finito (e quindi l'argomento di connessione di $S^n - f^{-1}(A)$ fallisce).
Penso che tu ti riferisca al caso $A$ non numerabile. Perchè se invece è numerabile, con un argomento che ricalca quello che hai usato nella tua dimostrazione, si riesce a dire che $S^n - f^-1(A)$ è connesso per archi.
Io dico che il vero problema sia dire che $A$ è al più numerabile. Non c'è modo di dirlo con argomenti non troppo complicati? Io non lo vedo, magari qualcuno ci riesce...
PS: ma anche tu hai il fastidiosissimo problema che il tuo account, ogni tanto, si slogga dopo meno di 5 minuti? Perchè a me fa così.
L'argomento che ho proposto io mostra che $A$ non puo' avere piu' di due punti, quindi in particolare esclude che $A$ sia piu' che numerabile.
PS. A me non si slogga spesso. Pero' spesso non ricorda il login. Ma credo sia un problema della mia gestione di cache e cookies perche' mi succede su diverse piattaforme phpBB
PS. A me non si slogga spesso. Pero' spesso non ricorda il login. Ma credo sia un problema della mia gestione di cache e cookies perche' mi succede su diverse piattaforme phpBB
"Pappappero":
L'argomento che ho proposto io mostra che $A$ non puo' avere piu' di due punti, quindi in particolare esclude che $A$ sia piu' che numerabile.
Si, si. Questo è ok. D'altra parte è la tesi del teorema, e tu l'hai dimostrata, col tuo argomento. Io mi riferivo al mio argomento. Chiedevo se col mio argomento c'è speranza di riuscire a escludere che $A$ sia non numerabile. Se no lascio perdere e imparo solo la tua dimostrazione e posso considerarmi soddisfatto.
@Isaac888 La compattezza ti causa una reazione allergica?
Si la compattezza ti fa passare al finito gia' all'inizio.
Ma tuttavia non e' necessaria perche' il fatto che vogliamo dimostrare e' valido anche se sostituiamo a $S^n$ qualunque cosa che abbia la proprieta' delle curve come sopra, ad esempio $\mathbb{R}^n$. Ma probabile che si possa indebolire anche di piu' l'ipotesi e che il mio argomento sia fin troppo complicato.
Non mi viene in mente un modo per passare al finito senza usare qualcosa di analogo all'idea proposta sopra.
Ma tuttavia non e' necessaria perche' il fatto che vogliamo dimostrare e' valido anche se sostituiamo a $S^n$ qualunque cosa che abbia la proprieta' delle curve come sopra, ad esempio $\mathbb{R}^n$. Ma probabile che si possa indebolire anche di piu' l'ipotesi e che il mio argomento sia fin troppo complicato.
Non mi viene in mente un modo per passare al finito senza usare qualcosa di analogo all'idea proposta sopra.
"j18eos":
@Isaac888 La compattezza ti causa una reazione allergica?
No, non è questo
... è che l'ho preso dal libro e si trova prima del capitolo della compattezza, per la precisione nel capitolo sulla connessione, per cui ho dedotto che si potesse affrontare con soli argomenti di connessione, come ha fatto Pappappero e come speravo di riuscire a fare anche io.Però la sua dimostrazione, giustamente è la sua. Io ne avevo fatta un'altra (a modo mio) e volevo vedere se col mio ragionamento si poteva riuscire, o dovevo gettare la spugna.
Comunque puoi essere più perciso, con il tuo suggerimento, per favore? Non riesco a capire come potrei applicare la connessione per escludere la non numerabilità di $A$.
Anche perchè Pappappero dice:
Si la compattezza ti fa passare al finito gia' all'inizio.
per cui probabilmente posso addirittuare escludere la numerabilità.
Grazie in anticipo.
PS:@Pappappero: Non lo trovo complicato il tuo argomento, anzi. Mi sembra molto più semplice e diretto del mio. Solo che non è venuto in mente a me, e (per quanto mi piaccia e farò tesoro della tua dimostrazione) devo sbrogliarmela da solo all'esame, per cui è importante che io capisca se ho toppato in qualcosa e se posso riprendermi usando come base le mie idee.
Non sono piu' troppo sicuro di quello che ho detto. L'idea era mostrare prima di tutto che $A$ e' chiuso in $\mathbb{R}$ (cosa che a occhio sembrerebbe vera, ma e' una dimostrazione da scrivere). Assumendo di aver mostrato questo, si ha che la preimmagine di $A$ in $S^n$ e' chiusa e visto che $S^n$ e' compatto, si ha che la preimmagine di $A$ e' compatta. Quindi $A$ e' compatto, in quanto immagine di un compatto.
A questo punto credevo si potesse concludere che $A$ e' finito, ma sono stato appunto frettoloso perche' la conclusione non e' per nulla immediata.
Quindi ritiro tutto quello che ho detto. Non ho un argomento di compattezza che permetta di dire direttamente che $A$ e' finito (o al piu' numerabile).
A questo punto credevo si potesse concludere che $A$ e' finito, ma sono stato appunto frettoloso perche' la conclusione non e' per nulla immediata.
Quindi ritiro tutto quello che ho detto. Non ho un argomento di compattezza che permetta di dire direttamente che $A$ e' finito (o al piu' numerabile).
\(\displaystyle\mathbb{S}^n\) è compatto e (per \(\displaystyle n\ge1\)) connesso; quindi la sua immagine mediante una funzione continua \(\displaystyle f\) a valori in \(\displaystyle\mathbb{R}\) è un insieme compatto e connesso, ovvero un intervallo chiuso e limitato \(\displaystyle[a,b]\).
Si dimostra facilmente che:
[list=1]
[*:1s8a8n3l]\(\displaystyle f\) è continua;[/*:m:1s8a8n3l]
[*:1s8a8n3l]\(\displaystyle f\) è chiusa;[/*:m:1s8a8n3l]
[*:1s8a8n3l]le anti-immagini dei punti di \(\displaystyle[a,b]\) mediante \(\displaystyle f\) sono insiemi compatti;[/*:m:1s8a8n3l][/list:o:1s8a8n3l]
in altre parole: \(\displaystyle f\) è una funzione propria.
Introduco un altro concetto: sia \(\displaystyle(S,\mathcal{T})\) uno spazio topologico connesso e \(\displaystyle T\) un suo sottoinsieme non vuoto; \(\displaystyle T\) è un insieme di taglio se \(\displaystyle S\setminus T\) è un insieme sconnesso.
Si dimostra facilmente che l'immagine di \(\displaystyle T\) mediante funzioni continue di dominio \(\displaystyle S\) è un insieme di taglio dell'immagine.
L'esercizio si risolve dimostrando che: \(\displaystyle\forall c\in]a,b[,\,f^{-1}(c)\) taglia \(\displaystyle\mathbb{S}^n\).
Provaci!
UPDATE: A differnza di quanto ho scritto: \(\displaystyle f^{-1}(a)\) ed \(\displaystyle f^{-1}(b)\) possono tagliare \(\displaystyle\mathbb{S}^n\), quindi \(\displaystyle a\) e \(\displaystyle b\) sono gli unici punti candidati ad avere un'anti-immagine mediante \(\displaystyle f\) finita!
Si dimostra facilmente che:
[list=1]
[*:1s8a8n3l]\(\displaystyle f\) è continua;[/*:m:1s8a8n3l]
[*:1s8a8n3l]\(\displaystyle f\) è chiusa;[/*:m:1s8a8n3l]
[*:1s8a8n3l]le anti-immagini dei punti di \(\displaystyle[a,b]\) mediante \(\displaystyle f\) sono insiemi compatti;[/*:m:1s8a8n3l][/list:o:1s8a8n3l]
in altre parole: \(\displaystyle f\) è una funzione propria.
Introduco un altro concetto: sia \(\displaystyle(S,\mathcal{T})\) uno spazio topologico connesso e \(\displaystyle T\) un suo sottoinsieme non vuoto; \(\displaystyle T\) è un insieme di taglio se \(\displaystyle S\setminus T\) è un insieme sconnesso.
Si dimostra facilmente che l'immagine di \(\displaystyle T\) mediante funzioni continue di dominio \(\displaystyle S\) è un insieme di taglio dell'immagine.
L'esercizio si risolve dimostrando che: \(\displaystyle\forall c\in]a,b[,\,f^{-1}(c)\) taglia \(\displaystyle\mathbb{S}^n\).
Provaci!
UPDATE: A differnza di quanto ho scritto: \(\displaystyle f^{-1}(a)\) ed \(\displaystyle f^{-1}(b)\) possono tagliare \(\displaystyle\mathbb{S}^n\), quindi \(\displaystyle a\) e \(\displaystyle b\) sono gli unici punti candidati ad avere un'anti-immagine mediante \(\displaystyle f\) finita!
"Isaac888":
$f(S^n)$ è un sottoinsieme connesso di $\mathbb{R}$, limitato o illimitato, poichè $f$ è continua.
"j18eos":
Sn è compatto e (per n≥1) connesso; quindi la sua immagine mediante una funzione continua f a valori in R è un insieme compatto e connesso, ovvero un intervallo chiuso e limitato [a,b].
Che stupido sono stato
. E' dire che questa cosa l'avevo già incontrata, anche se non mi sono ancora concentrato sui compatti (perchè è un fatto stranoto). Lascerò scritto il mio "errore" abbastanza vergognosetto a che i posteri possano imparare da ciò 
.Vabbè, mi metto subito sotto. Appena riesco a dire qualcosa con il suggerimento di j18eos lo scrivo.Grazie j18eos e grazie Pappappero.
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