Dimostrazione su complemento ortogonale

[oleg.fresi]

Buongiorno. Ho un dubbio riguardo questa dimostrazione del seguente teorema.
Sia $W$ un sottospazio vettoriale di dimensione $n$ di $(V, <,>)$. Allora $V=W+W^bot$.
La dimostrazione che studio è la seguente: sia ${e_1,...,e_n}$ una base ortonormale di $W^n$. Sia $v_w=sum_{i=1}^n e_i$ la proiezione ortogonale di $v$ su $W^bot$ e riscrivo $v = v_w+(v-v_w)$. So che $v_w$ sta in $W$ e devo dimostrare che $v-v_w$ sta in $W^bot$. Perciò considero $ = -
= - e_j,e_i> = - sum_{j=1}^n $.
Ora da qui non mi è chiaro il perché si arrivi a $ - $. Ho capito che quando $i=j$ il prodotto scalare $ = 1$, ma non capisco perché sparisca la sommatoria.
Potreste chiarirmi questo passaggio per favore?

[ViciousGoblin]

Perché se $i\ne j$ si ha $ =0$: Dunque tutti gli addendi della sommatoria sono nulli tranne quello con $j=i$.

[oleg.fresi]

Intuitivamente lo capisco, ma non riesco a visualizzare i passaggi. Se $i=j$, non riesco a capire come gli altri addendi spariscano. Per esempio se $i=3$ i lo visualizzo come $(++)$

[ViciousGoblin]

E' un fatto generale.
Se $S=\sum_{j=1}^na_j$ e se sai che per un certo $i$ vale $a_i=A$ e $a_j=0$ per $j\ne i$, allora $S=A$. Pensalo così:
$S=a_1+a_2+\cdots+a_i+\cdots+a_n$; tutti gli addendi sono nulli tranne l'$i$-esimo che fa $A$.

[oleg.fresi]

Perfetto, adesso mi è chiaro. Grazie mille!

[ViciousGoblin]

"ZfreS":Intuitivamente lo capisco, ma non riesco a visualizzare i passaggi. Se $i=j$, non riesco a capire come gli altri addendi spariscano. Per esempio se $i=3$ i lo visualizzo come $(++)$

Rispondo a questo anche se mi pare hai già capito. In realtà se $i=3$ hai:
$++ =$.

[oleg.fresi]

Uhm, non mi è chiaro. La somma non è da intendersi in questo modo: $ (sum_{j=1}^n )$ ?

[megas_archon]

Ovviamente no, il simbolo di sommatoria binda tutte le variabili contenenti l'indice su cui stai sommando: \[\sum_{j=1}^n \big(\langle v,e_j\rangle\langle e_i,e_j\rangle\big)\]

[oleg.fresi]

In questo modo torna tutto, ma quando scrivo $e_j,e_i>$ la somma è una costante, è come se scrivessi $$ che diventa $alpha$ dove $alpha=sum_{j=1}^n $.
Perché sto sbagliando?

[megas_archon]

Perché sto sbagliando?

Ma proprio perché il simbolo di sommatoria binda tutto fino all'ultimo \(e_j\)!

La somma \(\left\langle \sum_j\langle v,e_j\rangle e_j,e_i\right\rangle\) è uguale a \(\sum\langle v,e_j\rangle\langle e_j,e_i\rangle\), per bilinearità.

[oleg.fresi]

Non mi è ancora chiarissimo perchè stai sommando tutti i prodotti invece di trattare la somma come un fattore e $$ come un altro fattore, appunto per bilinearità

[megas_archon]

Quindi quello che non ti è chiaro è come funzionano le sommatorie.

[oleg.fresi]

Probabilmente hai ragione, forse sono un po confuso sulle proprietà

[ViciousGoblin]

Proviamo così.
$v=\sum_{j=1}^nv_j$ dove $v_j=e_j$.
Ora dato $i$:
$ =<\sum_{j=1}^nv_j,e_i> =$
$\sum_{j=1}^n = $
$\sum_{j=1}^n< e_j,e_i>
=\sum_{j=1}^n =
$

[oleg.fresi]

Adesso mi è davvero chiaro, infatti prima ho provato a farlo a mano, prima tirando fuori i termini additivi e poi i fattori e rimaneva esattamente ciò che hai scritto, ti ringrazio tanto per l'aiuto!