Dimostrazione spazi e sottospazi vettoriali
ciao, ho un problemino, tra poco ho l'orale di analisi 1 e non sono sicuro di una dimostrazione che non sono riuscito a trovare in rete, ossia
dato uno spazio vettoriale V ed un suo sottospazio S, con Dim(v)=Dim(s), si ha che S=V
sono arrivato a dire questo:
V=k1V1+....KnVn con Base di V=[V1, V2....Vn]
S=K1W1+...KnWn con base di S=[W1....Wn]
pongo l'uguaglianza tra V=S ed ho che k1V1+....KnVn=K1W1+...KnWn, perciò K1W1+...KnWn-(k1V1+....KnVn)=0
Raccolgo le rispettive k e ottengo: k1(W1-V1)+....kn(Wn-Vn)=0 ed essendo uguagliate a 0, posso dedurre che W1-V1=0 quindi W1=V1 e cosi via fino a Wn=Vn.
é giusta oppure posso dimostrarlo in un'altro modo??
grazie per il tempo concessomi
dato uno spazio vettoriale V ed un suo sottospazio S, con Dim(v)=Dim(s), si ha che S=V
sono arrivato a dire questo:
V=k1V1+....KnVn con Base di V=[V1, V2....Vn]
S=K1W1+...KnWn con base di S=[W1....Wn]
pongo l'uguaglianza tra V=S ed ho che k1V1+....KnVn=K1W1+...KnWn, perciò K1W1+...KnWn-(k1V1+....KnVn)=0
Raccolgo le rispettive k e ottengo: k1(W1-V1)+....kn(Wn-Vn)=0 ed essendo uguagliate a 0, posso dedurre che W1-V1=0 quindi W1=V1 e cosi via fino a Wn=Vn.
é giusta oppure posso dimostrarlo in un'altro modo??
grazie per il tempo concessomi
Risposte
Perché hai scritto lo spazio vettoriale come combinazione lineare degli elementi della sua base, che sono vettori? 
Inoltre, [tex]$S=V$[/tex] è quel che devi dimostrare, non puoi utilizzarlo nella dimostrazione.
Inoltre, [tex]$S=V$[/tex] è quel che devi dimostrare, non puoi utilizzarlo nella dimostrazione.
v come vettore appartenente allo spazio vettoriale V, è, per un teorema, dato dalla combinazione lineare dei vettori della base
comunque pensandoci su hai ragione non posso utilizzare la tesi come ipotesi(ergo dimostrare l'acqua calda con l'acqua calda) quindi ecco quello che sono riuscito a tirare fuori:
essendo ScV, e [v1, v2..vn] base di S, allora esiste vettore W appartenente sia ad S che a V
dimostrazione
poiché la dim(V)=n i vettori della base di S sono linearmente indipendente, perciò per un teorema sò che la base di S è anche una base di V.
perciò esistono K, k1,....kn non tutti nulli/kW+k1v1+...knvn=0
so che K1=k2=...Kn=0 , quindi K diverso da 0
W=-(K1/K)v1-....(Kn/K)vn ergo W appartiene ad S
ti sembra giusto
comunque pensandoci su hai ragione non posso utilizzare la tesi come ipotesi(ergo dimostrare l'acqua calda con l'acqua calda) quindi ecco quello che sono riuscito a tirare fuori:
essendo ScV, e [v1, v2..vn] base di S, allora esiste vettore W appartenente sia ad S che a V
dimostrazione
poiché la dim(V)=n i vettori della base di S sono linearmente indipendente, perciò per un teorema sò che la base di S è anche una base di V.
perciò esistono K, k1,....kn non tutti nulli/kW+k1v1+...knvn=0
so che K1=k2=...Kn=0 , quindi K diverso da 0
W=-(K1/K)v1-....(Kn/K)vn ergo W appartiene ad S
ti sembra giusto
Ah ok, se scrivi l'elemento generico di [tex]$V$[/tex] come combinazione lineare della sua base è un altro conto 
Usa due lettere diverse, perché da com'è scritto sembra che li identifichi.
Comunque, facciamo un po' di chiarezza. Quel che vuoi dimostrare in sostanza è che [tex]$V \subseteq S$[/tex] perché l'altra inclusione l'hai per ipotesi. Allora prendi un generico elemento [tex]$w \in V$[/tex] e provi che si può scrivere come combinazione lineare della base di [tex]$S$[/tex]. In questo modo hai provato l'implicazione che ti interessa: [tex]$w \in V \Rightarrow w \in S$[/tex]. E' questo quel che intendi fare?
Quando utilizzi il fatto che la base di $S$ è anche base di $V$ a che teorema fai riferimento? Ricorda che dati n vettori, per mostrare che essi sono una base, non ti basta provare la loro indipendenza: devi mostrare che essi generano lo spazio vettoriale in questione.
Sapresti spiegare perché esistono coefficienti non tutti nulli tali che quella combinazione lineare che è hai scritto è uguale a [tex]0[/tex]?
Usa due lettere diverse, perché da com'è scritto sembra che li identifichi.Comunque, facciamo un po' di chiarezza. Quel che vuoi dimostrare in sostanza è che [tex]$V \subseteq S$[/tex] perché l'altra inclusione l'hai per ipotesi. Allora prendi un generico elemento [tex]$w \in V$[/tex] e provi che si può scrivere come combinazione lineare della base di [tex]$S$[/tex]. In questo modo hai provato l'implicazione che ti interessa: [tex]$w \in V \Rightarrow w \in S$[/tex]. E' questo quel che intendi fare?
Quando utilizzi il fatto che la base di $S$ è anche base di $V$ a che teorema fai riferimento? Ricorda che dati n vettori, per mostrare che essi sono una base, non ti basta provare la loro indipendenza: devi mostrare che essi generano lo spazio vettoriale in questione.
Sapresti spiegare perché esistono coefficienti non tutti nulli tali che quella combinazione lineare che è hai scritto è uguale a [tex]0[/tex]?
Spiegazione alla tua domanda:
Se scelgo $W$ come vettore generico appartenente allo spazio vettoriale $V$, questo è combinazione lineare della base, il che significa che è stato generato proprio dalla stessa, quindi:
preso uno spazio $V$ di $Dim(n)$, n+1 vettori appartenenti allo spazio sono linearmente dipendenti; giusto?
Esatto era proprio quello che intendevo fare, secondo te; se posso darti del tu, è accettabile come dimostrazione in un'esame di analisi 1 ad ingegneria??
dimostrare che un generico elemento dello spazio è esprimibile come combinazione lineare della base del sottospazio
Se scelgo $W$ come vettore generico appartenente allo spazio vettoriale $V$, questo è combinazione lineare della base, il che significa che è stato generato proprio dalla stessa, quindi:
preso uno spazio $V$ di $Dim(n)$, n+1 vettori appartenenti allo spazio sono linearmente dipendenti; giusto?
Esatto era proprio quello che intendevo fare, secondo te; se posso darti del tu, è accettabile come dimostrazione in un'esame di analisi 1 ad ingegneria??
dimostrare che un generico elemento dello spazio è esprimibile come combinazione lineare della base del sottospazio
Certo che puoi darmi del tu 
Comunque, sì, è giusto: presi [tex]$n+1$[/tex] vettori in uno spazio di dimensione [tex]$n$[/tex], essi saranno dipendenti.
Quello che segue è corretto.
Soltanto, dimmi perché [tex]$k_1=...=k_n=0$[/tex].
Mi sembra che tu abbia capito in linea generale, però dovresti spiegare i passaggi che fai.
La dimostrazione di un fatto è sempre accettabile, purché sia corretta. Poi se è semplice, ben venga
EDIT: ti ho scritto in rosso la parte da eliminare.
Comunque, sì, è giusto: presi [tex]$n+1$[/tex] vettori in uno spazio di dimensione [tex]$n$[/tex], essi saranno dipendenti.
Quello che segue è corretto.
esistono K, k1,....kn non tutti nulli/kW+k1v1+...knvn=0
so che K1=k2=...Kn=0 , quindi K diverso da 0
W=-(K1/K)v1-....(Kn/K)vn ergo W appartiene ad S
Soltanto, dimmi perché [tex]$k_1=...=k_n=0$[/tex].
Mi sembra che tu abbia capito in linea generale, però dovresti spiegare i passaggi che fai.
La dimostrazione di un fatto è sempre accettabile, purché sia corretta. Poi se è semplice, ben venga
EDIT: ti ho scritto in rosso la parte da eliminare.
perché sono i coefficienti dei vettori della base, cioè l'unica soluzione di una combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti, o sbaglio??
Se tu consideri la relazione [tex]$k_1v_1+ \dots + k_nv_n=0$[/tex] (1), allora ottieni, per l'indipendenza dei vettori [tex]$k_1=\dots=k_n=0$[/tex]. Che è quel che stai dicendo.
Ma se consideri [tex]$kw+k_1v_1+ \dots + k_nv_n=0$[/tex], non ottieni l'annullamento di tutti quei coefficienti. Anche perché, se si annullassero, otterresti [tex]$kw=0$[/tex].
Quel che a te interessa per concludere nel modo che hai fatto, è verificare che [tex]$k\neq0$[/tex].
Allora, io procederei per contraddizione:
supponiamo che [tex]$k=0$[/tex]; allora otterresti la relazione (1), da cui, come abbiamo visto segue che [tex]$k_1=\dots=k_n=0$[/tex]. Ma allora avresti che [tex]$kw+k_1v_1+\dots +k_nv_n=0 \Rightarrow k=k_1=\dots=k_n=0$[/tex] e questo non è possibile! Perché?
Detto questo, concludi.
Ma se consideri [tex]$kw+k_1v_1+ \dots + k_nv_n=0$[/tex], non ottieni l'annullamento di tutti quei coefficienti. Anche perché, se si annullassero, otterresti [tex]$kw=0$[/tex].
Quel che a te interessa per concludere nel modo che hai fatto, è verificare che [tex]$k\neq0$[/tex].
Allora, io procederei per contraddizione:
supponiamo che [tex]$k=0$[/tex]; allora otterresti la relazione (1), da cui, come abbiamo visto segue che [tex]$k_1=\dots=k_n=0$[/tex]. Ma allora avresti che [tex]$kw+k_1v_1+\dots +k_nv_n=0 \Rightarrow k=k_1=\dots=k_n=0$[/tex] e questo non è possibile! Perché?
Detto questo, concludi.
perché se anche il coefficiente k fosse nullo avrei che esistono n+1 vettori linearmente indipendenti, ergo la $dim(V)$ sarebbe n+1, il che è in contraddizione con l'ipotesi: $dim(V)=n!!!$ ce l'ho fatta???
Esatto
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