Dimostrazione sottospazio di spazio vettoriale

[vinxs89]

Ciao a tutti, ho un problema con questa tipologia di esercizi, in pratica non ho capito come impostarli.
Ad esempio:

Nello spazio vettoriale reale $RR^5$ si consideri l'insieme di vettori $W={(a,b,c,d,e) in RR^5 : a+c = b+d = e}$
Si dimostri che W è un sottospazio di $RR^5$.

Ora per dimostrare che è un sottospazio devo verificare che:
1) Il vettore nullo $in$ W.
Facile perchè 0+0 = 0+0 = 0 $in$ W.

2) $AA$ u,v $in$ W $=>$ u+v $in$ W.
3) $AA$ a $in$ $RR^5$ , u $in$ W $=>$ au $in$ W.

Questi ultimi due non so come impostarli. Un aiuto sarebbe gradito. Grazie

[Gi81]

Prendi \(\displaystyle w_1 := (a_1,b_1,c_1,d_1,e_1) , w_2:=(a_2,b_2,c_2,d_2,e_2) \in W \).
Devi dimostrare che \(\displaystyle w_1+w_2 = (a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2,d_1+d_2,e_1+e_2) \in W \),
cioè devi dimostrare che \(\displaystyle (a_1+a_2) +(c_1+c_2)= (b_1+b_2)+(d_1+d_2)= (e_1+e_2)\)

[vinxs89]

E da qui posso applicare solo la proprietà commutativa? Ottenendo:

$(a_1 + c_1) + (a_2 + c_2) = (b_1 + d_1) + (b_2 + d_2) = e_1 + e_2$

edit: Per il 3 punto invece posso prendere $\alpha in RR$ e $u = (a,b,c,d,e) in W$.

Quindi $\alphau= (\alphaa,\alphab,\alphac,\alphad,\alphae)$ e devo dimostrare che $\alphau in W$
ovvero che $\alphaa + \alphac = \alphab + \alphad = \alphae$.
Mettendo in evidenza $\alpha$ ottengo che $\alpha(a+c) = \alpha(b+d) = \alpha(e)$ e quindi $\alphau in W$

Esatto?

[vinxs89]

Se devo trovare la dimensione di W e una sua base va bene questo ragionamento?
La condizione che genera W è $a+c=b+d=e$ che la posso riscrivere come

$\{(a+c-e=0),(b+d-e=0),(a+c-b-d=0):}$

Costruisco la matrice $M_3,_5$ che ha rango 2.
La dimensione la trovo con dim($RR^5$)-rango = 5 - 2 = 3.

Per la base devo trovare 3 vettori linearmente indipendenti e che soddisfino la condizione iniziale.
Qui li ho scelti quasi a caso. Non so se ci sta un metodo particolare per ottenerli.