Dimostrazione sottospazi generati

[mmattiak]

Sapreste dimostrare che dato uno spazio vettoriale v su un campo k e dati dei vettori v,v1,v2. Il sottospazio generato da v1,v2 è sottoinsieme del sottospazio generato da v,v1,v2?

[Trilogy]

In genere, quando devi provare che un insieme $A$ è contenuto in un insieme $B$, dovresti provare che ogni elemento di $A$ è un elemento di $B$. Prendiamo quindi un vettore $u\in\langle v_1,v_2\rangle$. Il nostro scopo è far vedere che $u$ appartiene a $\langle v,v_1,v_2\rangle$. Il fatto che $u$ appartenga a $\langle v_1,v_2\rangle$ significa che esistono $a,b\in K$ tali che $u=av_1+bv_2$. D'altra parte, $$\langle v,v_1,v_2\rangle=\{\alpha v+\beta v_1+\gamma v_2\mid \alpha,\beta,\gamma\in K\}.$$ E quindi automaticamente hai che $u\in\langle v,v_1,v_2\rangle$, perché basta prendere $$\alpha=0,\qquad\beta=a,\qquad\gamma=b.$$

[mmattiak]

Grazie mille! Ho capito!!