Dimostrazione riguardante le matrici associate

[Castle1]

Salve a tutti ragazzi
Studiando le matrici associate ad applicazioni lineari ho trovato alcune difficoltà a dimostrare questo teorema:
Sia $ f:V ->V' $ una applicazione lineare e sia $ A ∈ M_m,_n $ la matrice associata ad $ f $ rispetto a delle basi ordinate fissate $ B = (u_1,....,u_n) $ ; $ B' = (u'_1,....,u'_n) $ di $ V $ e $ V' $.
Si ha che $ dim imf = rho (A) $

A premettere che sul mio libro c'è una dimostrazione che....non mi è affatto chiara . Per tale motivo chiedo, a chi volesse, di aiutarmi a capire come fare la dimostrazione di questo teorema.
Vi ringrazio anticipatamente
p.s. Ho controllato anche sul Lang e sul Sernesi senza trovare nulla.

[Pappappero1]

Immagino che $\rho(A)$ sia il rango di $A$. Tuttavia le definizioni di rango in algebra lineare sono molteplici e spesso proprio questa relazione viene data come definizione di rango.

Quindi, dovresti specificare con che definizione di rango stai lavorando (dimensione dello span delle colonne di $A$ per esempio, o delle righe, o massima dimensione di un minore non nullo). Insomma, ci sono un sacco di definizioni equivalenti e per aiutarti bisogna sapere da cosa partire.

Inoltre puoi specificare che libro stai usando?

[Castle1]

Innanzitutto ti ringrazio per la tua risposta sto studiando dal libro "Un'introduzione all'algebra lineare" di L. Lomonaco dove il rango di una generica matrice A viene definito come: " l'ordine di un (qualunque) sistema indipendente massimale di righe (o anche colonne) di A". Ti ringrazio ancora per la tua risposta e aspetto novità

[Pappappero1]

Ok..quindi per te la definizione di rango è la dimensione dello spazio generato dalle colonne della matrice (infatti se hai $r$ vettori indipendenti, lo spazio che loro generano ha dimenione $n$).

In particolare, $Im (f)$ è generato dalle immagini degli elementi della base, che sono proprio le colonne della matrice.
Con questo grosso hint, riesci a concludere e a giustificare i vari passaggi?