Dimostrazione relazione rango-determinante

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Sk_Anonymous
Sk_Anonymous
19 mag 2014, 15:44
Come posso dimostrare che data una matrice $A in K^(nxn)$, $det(A)=0<=>rk(A)!=rk_(max)(A)$ , ovvero $det(A) =0<=>0<=rk(A)
Risposte
garnak.olegovitc1
garnak.olegovitc1
19 mag 2014, 14:04
@sleax,

"sleax":
Come posso dimostrare che data una matrice $A in K^(nxn)$, $det(A)=0<=>rk(A)!=rk_(max)(A)$ , ovvero $det(A) =0<=>0<=rk(A)

1° non capisco la scrittura \(\text{rk}(A)\neq \text{rk}_{\max}(A)\)! Che intendi?
2° pensaci, la proof non è difficile.. ;-)

dimostriamo:
$det(A) =0<=>0<=\text{rk}(A)
scrivo intanto il primo verso \( \Rightarrow\)
per definizione di rango se \(\det(A) \neq 0 \) allora \(\mathbf{rnk}(A)=n\) poichè \( A \) è il massimo minore non nullo estraibile dalla matrice \(A \), se invece \( \det(A)=0\) allora certamente \(\mathbf{rnk}(A)\neq n\) e dalla teoria sappiamo anche che \(\mathbf{rnk}(A)\leq \min\{m_{\text{righe}},n_{\text{colonnne}}\}\), in questo caso \(m_{\text{righe}}=n_{\text{colonnne}}=n\) poichè \(A \) è matrice quadrata ergo hai $$\mathbf{rnk}(A)\leq n \wedge \mathbf{rnk}(A)\neq n $$ cioè \(\mathbf{rnk}(A)

per il secondo verso \( \Leftarrow\) aspetto un tuo intervento.. è davvero semplice! :-) (hint: prova per assurdo :-D :roll: )

Saluti
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