Dimostrazione : PUNTI ADERENTI

[Desirio]

Devo dimostrare la seguente proposizione

"Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico. E sia $Y \subseteq X$ un sottoinsieme di $X$. $p \in \hat(Y)$ se e solo se $\forall A \in \tau$ tale che $p \in \tau$ si ha $A \cap Y \ne \emptyset$"...

dove con $\hat(Y)$ h oindicato la chiusura di $Y$.
Ora la dimostrazione Se $p \in \hat(Y)$ allora $\forall A \in \tau$ tale che $p \in \tau$ si ha $A \cap Y \ne \emptyset$ è ok...

Il contrario invece non riesco a dimostrarlo.. Ovvero dovrei dimostrare che Se $\forall A \in \tau$ tale che $p \in \tau$ si ha $A \cap Y \ne \emptyset$ allora $\p \in \hat(Y)$...

Da dove potrei iniziare?

Grazie

[Desirio]

Ho pensato di iniziare così...

Se $p !in \hat(Y)$ allora $\p \in \hat(Y)^c$ . Essendo la chiusura un chiuso, il complementare è aperto.
Quindi ho trovato un aperto $\hat(Y)^c$ che contiene $p$ ... e tale per cui $\hat(Y)^c \cap Y = \emptyset$ .... E quindi non è vero che per ogni aperto che contiene p l'intersezione con $Y$ non è vuota...

Ma non so se va bene

[j18eos]

Normalmente la chiusura di un sottoinsieme la si indica con \(\overline{Y}\).

A parte ciò, supponendo che \(p\notin\overline{Y}\) allora questi appartiene al suo complementare (che è un aperto), e quindi per contrapposizione hai l'asserto.

Ti è chiaro?

P.S.: scusa il ritardo, ma sono stato bello scarico nei giorni scorsi...

[Desirio]

Non preoccuparti!! Si mi è chiaro ora!
Grazie