Dimostrazione proprietà funzione in spazio topologico
Sia $X$ uno spazio localmente compatto e di Hausdorff.
Sia $K$ un compatto e $U$ un aperto di $X$ t.c. $K sube U$. Sia poi $V$ un intorno aperto di $K$ tale che la chiusura di $V$ è contenuta in $U$.
Sia $rho:X->[0,1]$ definita da $rho(x)=h(x)$ se $x$ è nella chiusura di $V$, altrimenti $rho(x)=0$, dove $h:A->[0,1]$ è tale che $h=1$ su $K$ e $h=0$ sul bordo di $V$ e $A$ indica la chiusura di $V$.
Sia $S$ la chiusura dell'insieme ${x in X | rho(x)!=0}$, mostrare che $S$ è compatto.
Usando la definizione di compattezza in spazi topologici non sono riuscito a risolvere l'esercizio.
Ho provato a fare questo tentativo, ma non sono del tutto sicuro della sua correttezza.
$rho(x)=h(x)$ se $x$ è nella chiusura di $V$ e $h=1$ solo su $K$.
Poiché $K sube U$ , allora $S sube K sube U$ e poiché per definizione $S$ è chiuso e $K$ è compatto, allora anche $S$ è compatto.
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Grazie mille
Sia $K$ un compatto e $U$ un aperto di $X$ t.c. $K sube U$. Sia poi $V$ un intorno aperto di $K$ tale che la chiusura di $V$ è contenuta in $U$.
Sia $rho:X->[0,1]$ definita da $rho(x)=h(x)$ se $x$ è nella chiusura di $V$, altrimenti $rho(x)=0$, dove $h:A->[0,1]$ è tale che $h=1$ su $K$ e $h=0$ sul bordo di $V$ e $A$ indica la chiusura di $V$.
Sia $S$ la chiusura dell'insieme ${x in X | rho(x)!=0}$, mostrare che $S$ è compatto.
Usando la definizione di compattezza in spazi topologici non sono riuscito a risolvere l'esercizio.
Ho provato a fare questo tentativo, ma non sono del tutto sicuro della sua correttezza.
$rho(x)=h(x)$ se $x$ è nella chiusura di $V$ e $h=1$ solo su $K$.
Poiché $K sube U$ , allora $S sube K sube U$ e poiché per definizione $S$ è chiuso e $K$ è compatto, allora anche $S$ è compatto.
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Grazie mille
Risposte
A me sembra falso, per esempio posso prendere $X=U=V=RR$ con la topologia Euclidea standard e $K$ un compatto qualsiasi di $X$. In questo caso $S=RR$. Ho interpretato "bordo" come il complementare dell'interno (se non lo è, cosa intendi con bordo?). Il bordo di $V$ è vuoto quindi possiamo prendere $h$ costante uguale a $1$. Poi immagino che $h$ la vuoi continua giusto? In ogni caso "$h=1$ solo su $K$" è falso.
Cos'è $A$?
"Martino":
A me sembra falso, per esempio posso prendere $X=U=V=RR$ con la topologia Euclidea standard e $K$ un compatto qualsiasi di $X$. In questo caso $S=RR$. Ho interpretato "bordo" come il complementare dell'interno (se non lo è, cosa intendi con bordo?). Il bordo di $V$ è vuoto quindi possiamo prendere $h$ costante uguale a $1$. Poi immagino che $h$ la vuoi continua giusto? In ogni caso "$h=1$ solo su $K$" è falso.
Con bordo intendo la frontiera di $V$.
Purtroppo questo è il testo dell'esercizio e non ho altre ipotesi sulla continuità di $h$ ad esempio.
A lezione hanno lasciato l'esercizio cosi come l'ho scritto, dicendo che era abbastanza semplice da risolvere
"otta96":
Cos'è $A$?
È la chiusura di $V$, l'ho messo nel post iniziale
"GuidoFretti":
$h:A->[0,1]$ è tale che $h=1$ su $K$ e $h=0$ sul bordo di $V$
Questo non significa niente, queste condizioni che hai scritto non identificano $h$ univocamente.
Io cercherei di recuperare l'enunciato esatto del problema perché altrimenti non si arriva da nessuna parte.
Inoltre ti torna che quello che ti ho scritto nel post precedente è un controesempio?
Sia $X$ uno spazio localmente compatto e di Hausdorff.
Sia $K$ un compatto e $U$ un aperto di $X$ t.c. $K sube U$. Sia poi $V$ un intorno aperto di $K$ tale che la chiusura di $V$ è contenuta in $U$.
Poiché $V$ chiusura è normale (cioè T1 e i chiusi disgiunti sono separati da aperti), $\partialV$ intersecato $K$ è il vuoto e i compatti sono chiusi in un Hausdorff, troviamo una funzione continua $h:A->[0,1]$ è tale che $h=1$ su $K$ e $h=0$ sul bordo di $V$ e $A$ indica la chiusura di $V$.
Sia ora $rho:X->[0,1]$ definita da $rho(x)=h(x)$ se $x$ è nella chiusura di $V$, altrimenti se $x$ sta in $X$ meno la chiusura di $V$ $rho(x)=0$.
Sia $S$ la chiusura dell'insieme ${x in X | rho(x)!=0}$, mostrare che $S$ è compatto.
Sia $K$ un compatto e $U$ un aperto di $X$ t.c. $K sube U$. Sia poi $V$ un intorno aperto di $K$ tale che la chiusura di $V$ è contenuta in $U$.
Poiché $V$ chiusura è normale (cioè T1 e i chiusi disgiunti sono separati da aperti), $\partialV$ intersecato $K$ è il vuoto e i compatti sono chiusi in un Hausdorff, troviamo una funzione continua $h:A->[0,1]$ è tale che $h=1$ su $K$ e $h=0$ sul bordo di $V$ e $A$ indica la chiusura di $V$.
Sia ora $rho:X->[0,1]$ definita da $rho(x)=h(x)$ se $x$ è nella chiusura di $V$, altrimenti se $x$ sta in $X$ meno la chiusura di $V$ $rho(x)=0$.
Sia $S$ la chiusura dell'insieme ${x in X | rho(x)!=0}$, mostrare che $S$ è compatto.
"Martino":
[quote="GuidoFretti"]$h:A->[0,1]$ è tale che $h=1$ su $K$ e $h=0$ sul bordo di $V$
Questo non significa niente, queste condizioni che hai scritto non identificano $h$ univocamente.
Io cercherei di recuperare l'enunciato esatto del problema perché altrimenti non si arriva da nessuna parte.
Inoltre ti torna che quello che ti ho scritto nel post precedente è un controesempio?[/quote]
Ho scritto per filo e per segno la consegna dell'esercizio come mi è stata data
Ho capito, ma scritta così è sbagliata. Prova a chiedere al/alla prof o a qualcun altro che l'ha trascritta.
Va bene, provo a sentire...
Grazie, facile che si sia sbagliata
Grazie, facile che si sia sbagliata
"GuidoFretti":
Ho scritto per filo e per segno la consegna dell'esercizio come mi è stata data
Posso dare un consiglio? Lascia stare la consegna. Ragiona autonomamente su quello che ti ha detto Martino. Sei d'accordo sul suo ragionamento? Sei proprio sicuro di averlo capito? Perché non lo commenti, non chiedi chiarimenti? Quando qualcuno ti dedica del tempo, e specialmente se è uno esperto come Martino, è buona norma prenderlo sul serio.
Non importa se va contro la consegna, "chi se ne frega della consegna" (come diceva un professore a cui volevo bene). L'importante è capire, tutto il resto non conta.
Grazie per la fiducia 
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