Dimostrazione proprietà distributiva del prodotto scalare

[MarinaxMBx]

Il testo dell'esercizio mi chiedeva di dimostrare la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma partendo dall'uguaglianza
$pr_\vecv(\vecu+\vecw)=pr_\vecv(\vecu)+pr_\vecv(\vecw)$
e usando la definizione di somma vettoriale.
Io sono arrivata ad un'identità usando la def di coseno e di prodotto vettoriale, scrivendo
$(u+w)*(u+w)_('')/(u+w)=u*(u)_('')/u + w*(w)_('')/(w)$
e semplificando.
(con le virgolette in basso intendo perpendicolare a $\vecv$, che dovrebbe essere un altro modo per descrivere la proiezione...?)
Mi dite se il mio ragionamento è corretto? A dire la verità, mi sembra un percorso circolare, ma non saprei come dimostrarlo in un'altra maniera...
Grazie!

[killing_buddha]

Se gli spazi vettoriali sono di dimensione finita, come credo, scrivi i vettori $a,b,c$ in una base $e_i$; ottieni che $a = \sum a_i e_i, b=\sum b_j e_j, c = \sum c_k e_k$. Tenendo a mente che $v\cdot w = \sum v_i w_i$, si ha

Allora $(a+b)\cdot c = \sum (a_i + b_i)c_i = \sum a_i c_i + b_i c_i = \sum a_i c_i + \sum b_i c_i = a\cdot c + b\cdot c$.

[MarinaxMBx]

Grazie mille!
La dimostrazione è chiara, l'unica cosa che mi lascia perplessa è perché il prof richiedeva di dimostrarlo partendo dalle proiezioni .-.