Dimostrazione proprietà dimensione spazio vettoriale

[mrchow1]

Buon pomeriggio, qualcuno potrebbe chiarirmi questa dimostrazione:

Proposizione:
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\R$, avente dimensione $n$.
Allora $n$ è il numero più piccolo di vettori generatori di V.

Dimostrazione:
Prendiamo una base di V $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$;
Supponiamo che $\{v_1, v_2, \ldots, v_{n-1}\}$; generino V.
$v_n\inV \rightarrow V_n=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\ldots+\lambda_{n-1}v_{n-1} \rightarrow$
$\rightarrow V_n-\lambda_1v_1-\lambda_2v_2-\ldots-\lambda_{n-1}v_{n-1}=0$.
Aiutatemi non so più come continuare per dimostrare che non sono generatori.

[feddy]

ciao,

dobbiamo dimostrare che,data una base $ {v_{1}\ldotsv_{n}} $ , nessun suo sottoinsieme proprio è un insieme di generatori.

Dimostrazione:
Prendiamo una base di V: $ {v_{1}\ldotsv_{n}} $.

Consideriamo ora l'insieme: $ {v_{1}\ldotsv_{r}} $, con r Allora $ v_{n}= \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\ldots+\alpha_{r}v_{r} $ è combinazione lineare di $ {v_{1}\ldotsv_{r}} $.

Ma sappiamo per ipotesi che $ {v_{1}\ldotsv_{n}} $ è una base di V, e pertanto è un insieme di generatori linearmente indipendente. Quindi, se $v_{n}$ è combinazione lineare degli altri, allora vuol dire che $ {v_{1}\ldotsv_{n}} $ è un insieme linearmente dipendente (poiché uno è combinazione lineare degli altri), e questo è assurdo, dal momento che abbiamo preso come ipotesi che $ {v_{1}\ldotsv_{n}} $ sia una base.

Quindi la tesi è verificata.