Dimostrazione proprietà della chiusura lineare
Salve.
Dice il testo: "Si dimostri che se $W1$ e $W2$ sono sottospazi di $V => W1+W2=L(W1 U W2)$
non saprei come iniziare.
ho pensato questo:prendo
$W1=(u1,.....,uk)
$W2=(v1,....,vk)$
allora
$W1+W2=(u1+v1,u2+v2,....,uk+vk)$
questa altro non è che una combinazione lineare di elementi di $W1 U W2$
infatti sarebbe come avere, per $a,b$ appartenenti ai reali,
$a*u+b*v$ con $a=b=0$
Siccome $L(W1 U W2)=$insieme delle combinazioni lineari di $W1 U W2 =>W1+W2$ è contenuto in $L(W1UW2)$.
e dopo allora dovrei dimostrare che $L(W1UW2)$ è contenuto in $W1+W2$
ma non saprei come fare.
Dice il testo: "Si dimostri che se $W1$ e $W2$ sono sottospazi di $V => W1+W2=L(W1 U W2)$
non saprei come iniziare.
ho pensato questo:prendo
$W1=(u1,.....,uk)
$W2=(v1,....,vk)$
allora
$W1+W2=(u1+v1,u2+v2,....,uk+vk)$
questa altro non è che una combinazione lineare di elementi di $W1 U W2$
infatti sarebbe come avere, per $a,b$ appartenenti ai reali,
$a*u+b*v$ con $a=b=0$
Siccome $L(W1 U W2)=$insieme delle combinazioni lineari di $W1 U W2 =>W1+W2$ è contenuto in $L(W1UW2)$.
e dopo allora dovrei dimostrare che $L(W1UW2)$ è contenuto in $W1+W2$
ma non saprei come fare.
Risposte
Essendo [tex]$W_1+W_2=\{w_1+w_2\in\mathbb{V}\mid w_1\in W_1;\,w_2\in W_2\}$[/tex] ti dovrebbe essere chiaro che è banale l'inclusione [tex]$W_1+W_2\subseteq L(W_1\cup W_2)$[/tex].
Essendo [tex]$L(W_1\cup W_2)=\{\sum_{k=0}^n\lambda_kv_k\in\mathbb{V}\mid\lambda_k\in\mathbb{R};\,v_k\in W_1\cup W_2\}_{n\in\mathbb{N}_0}$[/tex], si ha che tali combinazioni lineari si posso dividere in 2 "sottocombinazioni" lineari(*): la prima esclusivamente costituita da vettori di [tex]$W_1$[/tex] e la seconda esclusivamente costituita da vettori di [tex]$W_2$[/tex]; ovvero si ha una somma di un vettore di [tex]$W_1$[/tex] e di un vettore di [tex]$W_2$[/tex], ciò permette di affermare che [tex]$W_1+W_2\supseteq L(W_1\cup W_2)$[/tex].
Per il principio della doppia inclusione insiemistica si ha l'asserto!
§§§
(*) Lo si può fare in quanto [tex]$W_1$[/tex] e [tex]$W_2$[/tex] sono spazi vettoriali!
OUT OF SELF: Non hai a disposizione un testo con le dimostrazioni di tali proprietà?
Essendo [tex]$L(W_1\cup W_2)=\{\sum_{k=0}^n\lambda_kv_k\in\mathbb{V}\mid\lambda_k\in\mathbb{R};\,v_k\in W_1\cup W_2\}_{n\in\mathbb{N}_0}$[/tex], si ha che tali combinazioni lineari si posso dividere in 2 "sottocombinazioni" lineari(*): la prima esclusivamente costituita da vettori di [tex]$W_1$[/tex] e la seconda esclusivamente costituita da vettori di [tex]$W_2$[/tex]; ovvero si ha una somma di un vettore di [tex]$W_1$[/tex] e di un vettore di [tex]$W_2$[/tex], ciò permette di affermare che [tex]$W_1+W_2\supseteq L(W_1\cup W_2)$[/tex].
Per il principio della doppia inclusione insiemistica si ha l'asserto!
§§§
(*) Lo si può fare in quanto [tex]$W_1$[/tex] e [tex]$W_2$[/tex] sono spazi vettoriali!
OUT OF SELF: Non hai a disposizione un testo con le dimostrazioni di tali proprietà?
"j18eos":
Essendo [tex]$W_1+W_2=\{w_1+w_2\in\mathbb{V}\mid w_1\in W_1;\,w_2\in W_2\}$[/tex] ti dovrebbe essere chiaro che è banale l'inclusione [tex]$W_1+W_2\subseteq L(W_1\cup W_2)$[/tex].
Essendo [tex]$L(W_1\cup W_2)=\{\sum_{k=0}^n\lambda_kv_k\in\mathbb{V}\mid\lambda_k\in\mathbb{R};\,v_k\in W_1\cup W_2\}_{n\in\mathbb{N}_0}$[/tex], si ha che tali combinazioni lineari si posso dividere in 2 "sottocombinazioni" lineari(*): la prima esclusivamente costituita da vettori di [tex]$W_1$[/tex] e la seconda esclusivamente costituita da vettori di [tex]$W_2$[/tex]; ovvero si ha una somma di un vettore di [tex]$W_1$[/tex] e di un vettore di [tex]$W_2$[/tex], ciò permette di affermare che [tex]$W_1+W_2\supseteq L(W_1\cup W_2)$[/tex].
Per il principio della doppia inclusione insiemistica si ha l'asserto!
§§§
(*) Lo si può fare in quanto [tex]$W_1$[/tex] e [tex]$W_2$[/tex] sono spazi vettoriali!
OUT OF SELF: Non hai a disposizione un testo con le dimostrazioni di tali proprietà?
non ci sarei mai arrivata O_o
no, alcune proprietà non presentano dimostrazione, ma per l'orale debbo saperle dimostrare ugualmente.
quelle che sto postando sono quelle che non ho trovato da nessuna parte, o che ho trovato su internet ma non ho capito
perchè certe dimostrazioni sono fatte in un modo troppo complesso.
Ok, è per capire; in quanto: l'algebra lineare è l'esame più scemo che abbia mai fatto; una volta capita la teoria. 
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