Dimostrazione proposizioni sui determinanti
Buonasera,
l'esercizio che ho cercato di risolvere è questo:
Sia A una matrice qualsiasi. Si trovino le matrici che moltiplicate per A a destra danno come
risultato la matrice:
(a) J ottenuta da A moltiplicando una riga i per uno scalare k diverso da 0.
(b) K ottenuta da A aggiungendo alla riga i un multiplo della riga j
(c) si calcolino i determinanti di queste matrici e si utilizzi il risultato per dimostrare la propo-
sizione sull'e ffetto delle operazioni elementari sul determinante visto in classe.
Le proposizioni a cui fa riferimento sono queste:
1) Moltiplicando la riga i per uno scalare diverso da 0 il determinante della matrice risultante sarà quello della matrice originaria moltiplicata per k.
2) Aggiungendo alla riga i un multiplo della riga j il determinante rimarrà invariato.
Svolgendo i primi due punti dell'esercizio e calcolando i determinanti delle matrici (che ho chiamato B e C) che ho ottenuto, ho notato naturalmente che (detA)(detB)=detJ e che (detA)(detC)=detK
Giunto a questo punto non saprei come dimostrare le proposizioni. Ho cercato invano tra gli appunti un teorema che facesse riferimento alle operazioni tra determinanti ma niente.. un aiuto?
Scusate il poema, è che senza tutti questi dettagli non sarei stato chiaro
l'esercizio che ho cercato di risolvere è questo:
Sia A una matrice qualsiasi. Si trovino le matrici che moltiplicate per A a destra danno come
risultato la matrice:
(a) J ottenuta da A moltiplicando una riga i per uno scalare k diverso da 0.
(b) K ottenuta da A aggiungendo alla riga i un multiplo della riga j
(c) si calcolino i determinanti di queste matrici e si utilizzi il risultato per dimostrare la propo-
sizione sull'e ffetto delle operazioni elementari sul determinante visto in classe.
Le proposizioni a cui fa riferimento sono queste:
1) Moltiplicando la riga i per uno scalare diverso da 0 il determinante della matrice risultante sarà quello della matrice originaria moltiplicata per k.
2) Aggiungendo alla riga i un multiplo della riga j il determinante rimarrà invariato.
Svolgendo i primi due punti dell'esercizio e calcolando i determinanti delle matrici (che ho chiamato B e C) che ho ottenuto, ho notato naturalmente che (detA)(detB)=detJ e che (detA)(detC)=detK
Giunto a questo punto non saprei come dimostrare le proposizioni. Ho cercato invano tra gli appunti un teorema che facesse riferimento alle operazioni tra determinanti ma niente.. un aiuto?
Scusate il poema, è che senza tutti questi dettagli non sarei stato chiaro
Risposte
Hint: se $E_{ij}$ è la matrice i cui coefficienti sono tutti nulli, tranne quello di posto $(i,j)$ che vale $1$, chi è $E_{ij}A$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo