Dimostrazione prodotti scalari$\Leftrightarrow$matrici simmetriche
Salve
Devo dimostrare che prodotti scalari $\Leftrightarrow$ matrici simmetriche.
Mi verrebbe da impostarlo così
$\vec u * vec v = vec v* vec u$
che é una proprietà del prodotto scalare
$\ vec u^t A vec v = vec v^t C vec u$
Poi trasponendo il primo termine avrò
$\vec v^t A^t vec u = vec v^t C vec u$
Quindi $A^t=C$
e sostituendo questo risultato alla prima uguaglianza avrò finito.
Però non sono sicuro che sia corretto il procedimento ,in particolare dove traspongo un termine e lascio fisso l 'altro. Questo é l'unico modo che mi viene in mente ,altrimenti non saprei proprio da dove partire! Vi chiedo aiuto !
Devo dimostrare che prodotti scalari $\Leftrightarrow$ matrici simmetriche.
Mi verrebbe da impostarlo così
$\vec u * vec v = vec v* vec u$
che é una proprietà del prodotto scalare
$\ vec u^t A vec v = vec v^t C vec u$
Poi trasponendo il primo termine avrò
$\vec v^t A^t vec u = vec v^t C vec u$
Quindi $A^t=C$
e sostituendo questo risultato alla prima uguaglianza avrò finito.
Però non sono sicuro che sia corretto il procedimento ,in particolare dove traspongo un termine e lascio fisso l 'altro. Questo é l'unico modo che mi viene in mente ,altrimenti non saprei proprio da dove partire! Vi chiedo aiuto !
Risposte
Non ha senso quello che scrivi perché il prodotto scalare è associato ad una particolare matrice.
Avresti dovuto impostare le cose nel seguente modo. Per ogni \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in V\):
\[ \begin{align} \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} &= \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} \\ \mathbf{u}^t A\mathbf{v} &= \mathbf{v}^tA\mathbf{u} \end{align} \]
Prima di vedere il tuo problema esploro un metodo più diretto. Sia \(\displaystyle \{\mathbf{b}_i\} \) la base associata alla matrice \(\displaystyle A \). Allora \(\displaystyle a_{ij} = \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j = \mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_i = a_{ji} \).
Ritornando al tuo metodo osserva che \(\displaystyle \mathbf{u}^t A\mathbf{v} = c \) dove \(\displaystyle c\in \mathbf{R} \), insomma una matrice \(\displaystyle 1\times 1 \). La sua trasposta è quindi se stesso. Perciò hai che \(\displaystyle \mathbf{u}^t A\mathbf{v} = c = c^t = (\mathbf{u}^t A\mathbf{v})^t = \mathbf{v}^tA^t\mathbf{u} \).
Avresti dovuto impostare le cose nel seguente modo. Per ogni \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in V\):
\[ \begin{align} \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} &= \mathbf{v}\cdot\mathbf{u} \\ \mathbf{u}^t A\mathbf{v} &= \mathbf{v}^tA\mathbf{u} \end{align} \]
Prima di vedere il tuo problema esploro un metodo più diretto. Sia \(\displaystyle \{\mathbf{b}_i\} \) la base associata alla matrice \(\displaystyle A \). Allora \(\displaystyle a_{ij} = \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{b}_j = \mathbf{b}_j\cdot\mathbf{b}_i = a_{ji} \).
Ritornando al tuo metodo osserva che \(\displaystyle \mathbf{u}^t A\mathbf{v} = c \) dove \(\displaystyle c\in \mathbf{R} \), insomma una matrice \(\displaystyle 1\times 1 \). La sua trasposta è quindi se stesso. Perciò hai che \(\displaystyle \mathbf{u}^t A\mathbf{v} = c = c^t = (\mathbf{u}^t A\mathbf{v})^t = \mathbf{v}^tA^t\mathbf{u} \).
Vi ringrazio ragazzi !!
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