Dimostrazione per induzione: matrici e sommatorie
Ciao a tutti, spero che qualcuno di voi possa darmi una mano a risolvere questo esercizio o quanto meno questa tipologia (ove intervengono sommatorie e matrici) di dimostrazioni induttive.
Dimostrare per induzione che:
$[[3,1],[0,1]]^n$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]]$
Allora:
- caso base: $n_0$=1, la proprietà P(1) è vera.
- passo induttivo: sia n$>=$$n_0$, ed assumo che la proprietà P(n) sia vera.
Devo provare P(n+1), e cioè:
$[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3^(n+1),sum_{j=0}^n 3^j],[0,1]]$
Qui purtroppo mi blocco: come fare a dimostrare che $[[3^(n+1),sum_{j=0}^n 3^j],[0,1]]$ è riconducibile a $[[3,1],[0,1]]^(n+1)$ ??
Suggerimenti??
Grazie in anticipo
Dimostrare per induzione che:
$[[3,1],[0,1]]^n$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]]$
Allora:
- caso base: $n_0$=1, la proprietà P(1) è vera.
- passo induttivo: sia n$>=$$n_0$, ed assumo che la proprietà P(n) sia vera.
Devo provare P(n+1), e cioè:
$[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3^(n+1),sum_{j=0}^n 3^j],[0,1]]$
Qui purtroppo mi blocco: come fare a dimostrare che $[[3^(n+1),sum_{j=0}^n 3^j],[0,1]]$ è riconducibile a $[[3,1],[0,1]]^(n+1)$ ??
Suggerimenti??
Grazie in anticipo
Risposte
Dovresti dimostrare questa implicazione:
$[[3,1],[0,1]]^n$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]] rarr[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3^(n+1),sum_{j=0}^n 3^j],[0,1]]$
Quindi:
$[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3,1],[0,1]]^n[[3,1],[0,1]]$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]][[3,1],[0,1]]$
Prova a concludere.
$[[3,1],[0,1]]^n$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]] rarr[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3^(n+1),sum_{j=0}^n 3^j],[0,1]]$
Quindi:
$[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3,1],[0,1]]^n[[3,1],[0,1]]$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]][[3,1],[0,1]]$
Prova a concludere.
"speculor":
Dovresti dimostrare questa implicazione:
$[[3,1],[0,1]]^n$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]] rarr[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3^(n+1),sum_{j=0}^n 3^j],[0,1]]$
Quindi:
$[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3,1],[0,1]]^n[[3,1],[0,1]]$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]][[3,1],[0,1]]$
Prova a concludere.
Ciao! Intanto grazie per l'aiuto
!Scusa la domanda (probabilmente) stupida ma...non riesco a capire come hai ottenuto la scomposizione a secondo membro: $[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]][[3,1],[0,1]]$ che se non sbaglio dovrebbe dare $[[3^(n+1),sum_{j=0}^n 3^j],[0,1]]$
. Puoi darmi una dritta??
A quel punto, credo, dividendo entrambi i membri per $[[3,1],[0,1]]$ l'implicazione dovrebbe essere dimostrata.
Grazie ancora!
Per definizione:
$[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3,1],[0,1]]^n[[3,1],[0,1]]$
Per ipotesi:
$[[3,1],[0,1]]^n$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]]$
Infine, non è necessario eseguire alcuna divisione, basta sostituire e svolgere il prodotto matriciale. Tra l'altro, mi sembra che tu abbia già verificato quest'ultimo calcolo.
$[[3,1],[0,1]]^(n+1)$=$[[3,1],[0,1]]^n[[3,1],[0,1]]$
Per ipotesi:
$[[3,1],[0,1]]^n$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]]$
Infine, non è necessario eseguire alcuna divisione, basta sostituire e svolgere il prodotto matriciale. Tra l'altro, mi sembra che tu abbia già verificato quest'ultimo calcolo.
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