Dimostrazione nucleo applicazioni lineari
ciao a tutti! in mancanza di qualsivoglia supporto bibliografico sto cercando di dimostrare il seguente fatto (che mi pare di notevole importanza):
sia $ T : V rarr W $ un'applicazione lineare rappresentata dalla matrice $ A $ rispetto alle basi $ B $ e $ C $ (di $ V $ e $ W $ rispettivamente).
Sia $ P : V rarr K^n $ l'applicazione lineare invertibile (isomorfismo) che associa al vettore $ \vec v in V $ le coordinate $ \vec x $ rispetto alla base $ B $. Cioè in altre parole $ P(\vec v) = \vec x $ = $ \text{coord} (\vec v) $
Ciò che io voglio dimostrare è che, se $ \vec x_1 $,...,$ \vec x_d $ formano una base per $ ker(A) $, allora $ P^(-1)(\vec x_1) $,....,$ P^(-1)(\vec x_d) $ formano una base per $ ker(T) $ cioè per il nucleo dell'applicazione $ T $ rappresentata dalla matrice $ A $.
sono diversi giorni che ci penso e intanto l'esame incombe.. mille grazie a chiunque sappia dirmi qualcosa (anche solo come iniziare)
PS: io per ora ho dimostrato che, se $ \vec x_1 $,...,$ \vec x_d $ sono linearmente indipendenti, allora anche $ P^(-1)(\vec x_1) $,....,$ P^(-1)(\vec x_d) $ lo sono.
sia $ T : V rarr W $ un'applicazione lineare rappresentata dalla matrice $ A $ rispetto alle basi $ B $ e $ C $ (di $ V $ e $ W $ rispettivamente).
Sia $ P : V rarr K^n $ l'applicazione lineare invertibile (isomorfismo) che associa al vettore $ \vec v in V $ le coordinate $ \vec x $ rispetto alla base $ B $. Cioè in altre parole $ P(\vec v) = \vec x $ = $ \text{coord} (\vec v) $
Ciò che io voglio dimostrare è che, se $ \vec x_1 $,...,$ \vec x_d $ formano una base per $ ker(A) $, allora $ P^(-1)(\vec x_1) $,....,$ P^(-1)(\vec x_d) $ formano una base per $ ker(T) $ cioè per il nucleo dell'applicazione $ T $ rappresentata dalla matrice $ A $.
sono diversi giorni che ci penso e intanto l'esame incombe.. mille grazie a chiunque sappia dirmi qualcosa (anche solo come iniziare)
PS: io per ora ho dimostrato che, se $ \vec x_1 $,...,$ \vec x_d $ sono linearmente indipendenti, allora anche $ P^(-1)(\vec x_1) $,....,$ P^(-1)(\vec x_d) $ lo sono.
Risposte
Definisci anche $Q:W\rightarrow \mathbb{K}^m$, isomorfismo di passaggio alle coordinate.
A questo punto hai che $T=Q^{-1}\circ A \circ P$. Devi solo far vedere che i $P^{-1}(x_i)$ $\forall i\leq d$ generano il $ker$ di $T$ vista in questo modo, se gli $x_i$ generano $ker(A)$.
A questo punto hai che $T=Q^{-1}\circ A \circ P$. Devi solo far vedere che i $P^{-1}(x_i)$ $\forall i\leq d$ generano il $ker$ di $T$ vista in questo modo, se gli $x_i$ generano $ker(A)$.
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