Dimostrazione: l'intersezione di palle è ancora una palla
Devo dimostrare che la topologia indotta dalla metrica è una topologia. Quindi devo dimostrare che l'intersezione di palle è ancora una palla....
In quanto nella topologia indotta dalla metrica un aperto è sempre esprimibile come unione di palle.
Prese due palle $B(x,r)$ e $B(y,s)$ l'intersezione $B(x,r) ∩ B(y,s)$ è una palla (aperto).
Quindi devo prendere un punto appartenente all'intersezione delle palle $p$ e dimostrare che esiste un raggio $r_x > 0$ tale che $B(p, r_x) \subseteq B(x,r) ∩ B(y,s)$. Fin qui tutto ok...
Divido il problema in due sottoproblemi....
a) Cerco un raggio $r_x > 0$ tale che $B(p, r_x) \subseteq B(x,r)$.
Quindi ogni punto della $B(p,r_x)$ deve essere contenuto anche in $B(x,r)$ ....
Sia $z \in B(p, r_x)$ allora $d(z,p) < r_x$.
L'idea ora è applicare la disuguaglianza triangolare per far vedere che esiste $r_x>0$ tale che $d(z,x) < r$....
Quindi ... $d(x,z) \leq d(p,z) + d(x,p) < r_x + d(x,p) $ ....
* Adesso impongo $r_x + d(x,p) < r$ e trovo che $r_x < r - d(x,p)$ .. quindi esiste.. ok.... *
Però in quest'ultimo passaggio sono confusa ... nel senso che mi verrebbe da seguire un'altra strada : so che $d(x,p) < r$ e quindi arriverei a un punto morto: $d(x,z) \leq d(p,z) + d(x,p) < r_x + r < r$ ASSURDO... Cosa sbaglio in questa strada ?
In quanto nella topologia indotta dalla metrica un aperto è sempre esprimibile come unione di palle.
Prese due palle $B(x,r)$ e $B(y,s)$ l'intersezione $B(x,r) ∩ B(y,s)$ è una palla (aperto).
Quindi devo prendere un punto appartenente all'intersezione delle palle $p$ e dimostrare che esiste un raggio $r_x > 0$ tale che $B(p, r_x) \subseteq B(x,r) ∩ B(y,s)$. Fin qui tutto ok...
Divido il problema in due sottoproblemi....
a) Cerco un raggio $r_x > 0$ tale che $B(p, r_x) \subseteq B(x,r)$.
Quindi ogni punto della $B(p,r_x)$ deve essere contenuto anche in $B(x,r)$ ....
Sia $z \in B(p, r_x)$ allora $d(z,p) < r_x$.
L'idea ora è applicare la disuguaglianza triangolare per far vedere che esiste $r_x>0$ tale che $d(z,x) < r$....
Quindi ... $d(x,z) \leq d(p,z) + d(x,p) < r_x + d(x,p) $ ....
* Adesso impongo $r_x + d(x,p) < r$ e trovo che $r_x < r - d(x,p)$ .. quindi esiste.. ok.... *
Però in quest'ultimo passaggio sono confusa ... nel senso che mi verrebbe da seguire un'altra strada : so che $d(x,p) < r$ e quindi arriverei a un punto morto: $d(x,z) \leq d(p,z) + d(x,p) < r_x + r < r$ ASSURDO... Cosa sbaglio in questa strada ?
Risposte
"Desirio":Questa sì ch'è una palla quadrata! Basta fare un disegno...
[...] Quindi devo dimostrare che l'intersezione di palle è ancora una palla... [...]
In verità, devi dimostrare che l'interesezione di due palle (aperte) contiene una palla (aperta); 'sicché le palle aperte formano una base per una topologia su \(\displaystyle\mathbb{R}^n\).
"j18eos":Per la verità questo non garantisce che sia una base. Per esempio l'insieme vuoto è una palla aperta di raggio $0$. Quindi detto così è sempre vero e quindi vacuo. Ma sono sicuro che si possano costruire esempi non banali.
In verità, devi dimostrare che l'interesezione di due palle (aperte) contiene una palla (aperta); 'sicché le palle aperte formano una base per una topologia su \(\displaystyle\mathbb{R}^n\).
Per mostrare che le palle aperte formano una base bisogna mostrare che per ogni due palle aperte $A,B$ e per ogni $x in A nn B$ esiste una palla aperta $U$ tale che [tex]x \in U \subseteq A \cap B[/tex].
Ho dato per assodato che le palle (aperte) costituiscano un ricomprimento di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\);
poi sì, sono stato impreciso: se due palle (aperte) \(\displaystyle B_1\) e \(\displaystyle B_2\) hanno intersezione non vuota, allora bisogna dimostrare che per ogni punti \(\displaystyle x\) nell'intersezione allora esiste una palla (aperta) \(\displaystyle B_3\subseteq B_1\cap B_2\mid x\in B_3\).
Di sicuro, come ho già affermato: l'intersezione di due palle (aperte) non è una palla (aperta).
poi sì, sono stato impreciso: se due palle (aperte) \(\displaystyle B_1\) e \(\displaystyle B_2\) hanno intersezione non vuota, allora bisogna dimostrare che per ogni punti \(\displaystyle x\) nell'intersezione allora esiste una palla (aperta) \(\displaystyle B_3\subseteq B_1\cap B_2\mid x\in B_3\).
Di sicuro, come ho già affermato: l'intersezione di due palle (aperte) non è una palla (aperta).
"j18eos":Questa sì ch'è una palla quadrata! [/quote]
[quote="Desirio"][...] Quindi devo dimostrare che l'intersezione di palle è ancora una palla... [...]
Eddai! Che palle
Se avessimo usato la norma del sup avremmo potuto avere dei rettangoli, oltre ai quadrati 
"Desirio":
Però in quest'ultimo passaggio sono confusa ... nel senso che mi verrebbe da seguire un'altra strada : so che $d(x,p) < r$ e quindi arriverei a un punto morto: $d(x,z) \leq d(p,z) + d(x,p) < r_x + r < r$ ASSURDO... Cosa sbaglio in questa strada ?
Non c'è contradizione: se $r_x < r - d(x,p)$ e $B(p, r_x) \subseteq B(x,r)$ allora $d(x,z) \leq d(p,z) + d(x,p) < r_x + r < r - d(x,p) + r = 2r - d(x,p)$.
Ti propongo un piccolo suggerimento dove nella dimostrazione c'è l'idea, che hai utilizzato, di prendere un numero reale positivo minore di $r - d(x,p)$.
Secondo me dovresti farti un disegno con delle circonferenze.
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