Dimostrazione lemma di steinitz

[zerbo1000]

ragazzi ho un problema con un passaggio nella dimostrazione del lemma di steiniz

il lemma dice che presa una base di $ B=(v1....vn)$
e un inisieme libero $ J=(a1.....ak)$
allora $ k<=n$

la dimostrazione inizia esprimendo un vettore di J con comb lin della base di V

$a1=f1 v1 +...+ fn vn $

e affremando che dev'essere un vettore diverso da 0 perchè il l'insieme $(a1...ak)$ è libero
quindi almeno un coefficente $(f1...fn)$ dev'essere diverso da 0, ipotizzando per semplicità il primo coefficiente f1 diverso da zero deduco che a1 non appartiene all insieme delle combinazioni lineari dei vettori $(v2...vk)$

ed è questo che non capisco, perchè sotto l'ipotesi "il primo coefficente f1 è diverso da zero" allora a1 non appartiene all insieme delle combinazioni lineari dei vettori $(v2...vk)$?
ho fatto solo l'ipotesi che f1 sia diverso da zero (e che quindi i restanti coefficienti $(f2....fn)$ siano uguali a zero)
ma perchè per altri coefficenti scielti adeguatamente $ (l2....ln)$ non si può avere $a1= l2 v2 +....+ ln vn$?

grazie

[feddy]

Questo perchè dato un insieme di generatori A=${a_1,...,a_n}$ di uno spazio vettoriale V finitamente genearto, se $a_n$ è combinazione lineare dei rimanenti ${a_1,...,a_{n-1}}$, allora $A'={a_1,...,a_{n-1}}$ è ancora un insieme di generatori per V

[feddy]

"zerbo1000":ragazzi ho un problema con un passaggio nella dimostrazione del lemma di steiniz

il lemma dice che presa una base di $ B=(v1....vn)$
e un insieme libero $ J=(a1.....ak)$
allora $ k<=n$

Scusa ma c'è qualcosa che non va nelle tue ipotesi.

Il lemma di Steinitz dice:

"Sia $A ={v_1,...,v_n}$ un insieme di generatori di uno spazio vettoriale V su C e sia B= {w_1,...,w_r} un insieme lin. indipendente di V.
Allora $r<=n$."

La cardinalità di un insieme dei generatori di V è sempre maggiore o uguale alla cardinalità di una base di V.