Dimostrazione legame dipendenza e determinante

[lorenzo1234567]

Buonasera, c'è un teorema che stabilisce che $A_1,...,A_n$ sono dipendenti se e solo se $det(A_1,...,A_n)=0$.
Leggendo la dimostrazione del professore sulla condizione sufficiente, dopo aver detto che $A_1,...,A_n$, essendo indipendenti (per assurdo), sono una base di $\RR^n$ ed aver utilizzato la linearità rispetto alle colonne del determinante, si ottiene $(a_{1_{i_1}}a_{2_{i_2}}...a_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ (utilizzando la convenzione di Einstein). A questo punto dice che "i determinanti a secondo membro sono nulli o perchè $i_h$ e $i_k$ coincidono, e dunque due colonne sono uguali, oppure sono tutti distinti, ed allora le colonne $A_{i_1},...,A_{i_n}$ si possono permutare fino ad ottenere $A_1,...,A_n$".
Ma cosa significa che $i_h$ e $i_k$ coincidono e che le colonne $A_{i_1},...,A_{i_n}$ si possono permutare fino ad ottenere $A_1,...,A_n$?? So che se due colonne sono uguali il determinante è $0$ oppure che possono essere scambiate due colonne, ma non capisco cosa vogliano dire in questo contesto.

Inoltre aggiunge "Poichè $det(A_1,...,A_n)=0$, anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=(-1)$ (numero di scambi) $det(A_1,...,A_n)=0$". Ma cosa significa?? Perchè quel $-1$? Perchè ripete due volte $det(A_1,...,A_n)=0$"?

[lorenzo1234567]

"Sergio":Perdonami, ma da alcuni messaggi di altri sembra che chiedere chiarimenti direttamente al prof sia come dichiarare guerra, sfidare un mostro, o magari arrendersi a una disfatta tale che nemmeno i giapponesi a Okinawa. Mentre è la cosa più normale del mondo, è quello che i prof si aspettano e apprezzano. A parte il fatto che se sono lì è perché a loro la matematica piace anche più che a te (e cosa c'è di meglio che parlare di un argomento che piace?), una lezione non è uno sproloquio estemporaneo, va preparata, e ricevere un feedback è molto gradito. Hanno un orario di ricevimento che si riduce a noia se nessuno chiede di essere ricevuto e sono ben contenti di non annoiarsi. Ti dirò di più: rispondono perfino alle email!
Insomma, visto che qui si tratta proprio di quello che il prof ha detto a lezione, dell'impostazione che ha scelto di dare alla dimostrazione, cosa c'è di più normale che chiedere a lui? Oltre a imparare la matematica, si dovrebbe anche imparare a stabilire un dialogo con i docenti. Si impara più parlando insieme che seguendo passivamente una lezione.

Mai stato un problema, tuttavia questo teorema credevo di averlo capito fino a ieri ma non è così. E dato che l'esame è tra 2 giorni e il professore non dà ricevimenti/chiarimenti fino al termine devo chiedere qui...

"Sergio":
Premesso questo, è un teorema ben noto, credo di aver capito (più o meno) i tuoi dubbi, probabilmente ci sono qui altri in grado di rispondere subito senza esitazioni, ma io dovrei chiederti qualcosa, in particolare:
[quote="Lorenzo_99"]si ottiene $(a_{1_{i_1}}a_{2_{i_2}}...a_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ (utilizzando la convenzione di Einstein)

Quale convenzione? Io conosco la convenzione di Einstein per le sommatorie, ma se anche fosse si scriverebbe diversamente.
[/quote]
È proprio quella sulle sommatorie (che permette di ometterle), lui la scrive così...

"Sergio":
[quote="Lorenzo_99"]A questo punto dice che "i determinanti a secondo membro sono nulli

.
Quale secondo membro? In quello che hai scritto mi pare di vedere solo un determinante.
[/quote]
L'intero "passaggio" sarebbe (con $e_1,...,e_n$ base canonica) $1=det(e_1,...,e_n) = det(a_{1_{i_1}}A_{i_1},a_{2_{i_2}}A_{i_2},...,a_{n_{i_n}}A_{i_n}) = a_{1_{i_1}}det(A_{i_1},a_{2_{i_2}}A_{i_2},...,a_{n_{i_n}}A_{i_n}) =...=$ $a_{1_{i_1}}a_{2_{i_2}}...a_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$
A questo punto parla di secondo membro ed ho il tuo stesso dubbio...immagino si riferisca semplicemente a "$det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$".

"Sergio":
[quote="Lorenzo_99"]Inoltre aggiunge "Poichè $det(A_1,...,A_n)=0$, anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=(-1)$ (numero di scambi) $det(A_1,...,A_n)=0$". Ma cosa significa?? Perchè quel $-1$? Perchè ripete due volte $det(A_1,...,A_n)=0$?

Questa mi pare più facile: scambiando due righe o colonne il determinante cambia di segno.
Se $A$ è la matrice data e $A'$ e una matrice ottenuta attraverso $n$ scambi, $det(A')=(-1)^n det(A)$ e se $det(A')=0$ anche $det(A)=0$.
[/quote]
Il problema è che qui gli scambi non credo debbano esserci...le colonne $(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ dovrebbero essere le stesse date all'inizio, nessuno dovrebbe averle scambiate di posto, quindi perchè adesso dovrei farlo se già sono a posto? Se so che $det(A_1,...,A_n)=0$ anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ dovrebbe essere $= 0$ essendo identiche.

[lorenzo1234567]

Riporto tutta la dimostrazione in modo da evitare fraintendimenti e cerco di riesprimere i miei dubbi in maniera più chiara.
Teorema: "Condizione necessaria e sufficiente perchè $A_1,...,A_n$ siano dipendenti è che $det(A_1,...,A_n)=0$".

Dimostrazione riscritta testualmente della condizione sufficiente ($det(A_1,...,A_n)=0 \Rightarrow A_1,...,A_n$ dipendenti):

Supponiamo che $det(A_1,...,A_n)=0$ e che $A_1,...,A_n$ siano indipendenti, per assurdo.
Se $A_1,...,A_n$ sono indipendenti, sono una base di $\RR^n$ (teorema dei generatori), dunque $e_h=$ \( \sum^{n}_{i_h=1} \)$\alpha_{h_{i_h}}A_{i_h}=$(per convenzione Einstein) $\alpha_{h_{i_h}}A_{i_h}$ da cui $1=det(e_1,...,e_n)=det(\alpha_{1_{i_1}}A_{i_1},\alpha_{2_{i_2}}A_{i_2},...,\alpha_{n_{i_n}}A_{i_n})=\alpha_{1_{i_1}}det(A_{i_1},\alpha_{2_{i_2}}A_{i_2},...,\alpha_{n_{i_n}}A_{i_n})=\alpha_{1_{i_1}}\alpha_{2_{i_2}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,\alpha_{n_{i_n}}A_{i_n})=...=\alpha_{1_{i_1}}\alpha_{2_{i_2}}...\alpha_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ ove nelle sommatorie sugli indici ripetuti $i_1, i_2, ..., i_n$ (non indicate per la convenzione di Einstein) essi assumono tutti i valori tra $1$ ed $n$. Tutti i determinanti a secondo membro sono nulli: o due indici $i_h$ e $i_k$ coincidono, e dunque due colonne sono uguali, oppure sono tutti distinti, ed allora le colonne $A_{i_1},...,A_{i_n}$ si possono permutare fino ad ottenere $A_1,...,A_n$. Poichè $det(A_1,...,A_n)=0$, anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=(-1)^(n. scambi) det(A_1,...,A_n)=0$.
Da $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=0 \forall i_1,...,i_n \in 1...n$ segue dunque l'assurdo $1=\alpha_{1_{i_1}}\alpha_{2_{i_2}}...\alpha_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=0$.

Dubbi:
Fino all'utilizzo della linearità rispetto alle colonne che permette di portare fuori gli $\alpha_{h_{i_h}}$ non ho problemi. Nel momento in cui vengono spiegate le ragioni per cui i determinanti a secondo membro (che non ho capito ancora quali siano) sono nulli mi perdo: come fanno gli indici $i_h$ e $i_k$ a coincidere? O meglio, cosa significa che coincidono?? Cosa significa che sono tutti distinti? Dato che le colonne $A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n}$ non sono mai state toccate (permutate) dovrebbero essere identiche a quelle iniziali $A_1,...,A_n$ che, essendo indipendenti per ipotesi, 1) non possono essere uguali 2) non c'è bisogno di permutarle per ottenere $A_1,...,A_n$, visto che già sono quest'ultime.

[solaàl]

Fai la stessa dimostrazione per una generica matrice 2x2. Se te la senti, anche per una 3x3. Cosa succede ti sarà chiaro, il resto è solo avere inventato una notazione che lo spiega.

[lorenzo1234567]

"Sergio":
$((1),(0))=-2((1),(2))+3/2((2),(4))$

Avrei da ridire su questa uguaglianza, ma comunque ho capito

"Sergio":Mi sembra una dimostrazione davvero cervellotica

In realtà non troppo. Bastava fare un esempio banale come questo che hai appena scritto e chiunque avrebbe capito.
Grazie, anche a @solaàl

[solaàl]

Io intendevo proprio fare il conto con una matrice 2x2 generica, ossia prendere \(A = \left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix} \right)\) e rifare la stessa dimostrazione;

Se vuoi usare lo stesso argomento ma non perderti nelle sommatorie, che effettivamente sono noiose, supponi che \(\det A\) sia zero ma che le colonne di $A$ siano una base; allora riesci a scrivere \(e_1, e_2\) come combinazione lineare di $(a,c)$ e $(b,d)$, diciamo \(A=DE\) se $A$ è la tua matrice, $D$ il cambio di base, $E$ la matrice identica, o meglio ancora $AD^{-1}=E$; usa il teorema di Binet, e il fatto che \(\det E=1\) assieme all'ipotesi ce \(\det A =0\) ti dà un assurdo.

[solaàl]

Chiaro, sintetico, elegante, per niente cervellotico

Me lo dicessero quando faccio qualcosa di più raffinato di un determinante!