Dimostrazione iperbole
Ciao a tutti!!!!!!!!!!!!!
allora,sia sul mio libro che sui miei appunti ho solo la dimostrazione dell'ellisse,per quanto riguarda quella dell'iperbole mi dice solo di impostare la dimostrazione in modo analogo facendo attenzione alla sostituzione $\b=sqrt(c^2-a^2)
ora scrivo quella dell'ellisse(del mio libro):
$\F_1=(-c,0);F_2=(c,0)
$\(P) inGamma se |PF_1|+|PF_2|=2a
iniziano i calcoli:
$\sqrt((-c-x)^2+(-y)^2)+(sqrt((c-x)^2+(-y)^2)=2a->sqrt(c^2+x^2+2xc+y^2)+sqrt(c^2+x^2-2xc+y^2)=2a
con la sostituzione $\A=x^2+y^2+c^2$ ottengo:
$\(sqrt(A-2xc)+sqrt(A+2xc))^2=(2a)^2->..->sqrt(A^2-4x^2c^2)=2a^2-A->-x^2c^2=a^4-Aa^2$quindi:
$\-x^2c^2=a^4-(x^2+y^2+c^2)a^2->x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)
con la sostituzione $\b=sqrt(a^2-c^2)$ ottengo $\x^2/a^2+y^2/b^2=1
per quanto riguarda l'iperbole dovrei impostare i seguenti calcoli:
$\(P) inGamma se |PF_1|-|PF_2|=2a
iniziano i calcoli:
$\sqrt((-c-x)^2+(-y)^2)-(sqrt((c-x)^2+(-y)^2)=2a>sqrt(c^2+x^2+2xc+y^2)-sqrt(c^2+x^2-2xc+y^2)=2a
$\(sqrt(A+2xc)-sqrt(A-2xc))^2=(2a)^2->..->-sqrt(A^2-4x^2c^2)=2a^2-A->2A^2+4x^2c^2=4a^2-4a^2A$ da qui dovrei arrivare al punto in cui devo sostituire $\b=sqrt(c^2-a^2)$ e trovarmi $\x^2/a^2-y^2/b^2=1
ma non ci riesco:(
dove sbaglio?
allora,sia sul mio libro che sui miei appunti ho solo la dimostrazione dell'ellisse,per quanto riguarda quella dell'iperbole mi dice solo di impostare la dimostrazione in modo analogo facendo attenzione alla sostituzione $\b=sqrt(c^2-a^2)
ora scrivo quella dell'ellisse(del mio libro):
$\F_1=(-c,0);F_2=(c,0)
$\(P) inGamma se |PF_1|+|PF_2|=2a
iniziano i calcoli:
$\sqrt((-c-x)^2+(-y)^2)+(sqrt((c-x)^2+(-y)^2)=2a->sqrt(c^2+x^2+2xc+y^2)+sqrt(c^2+x^2-2xc+y^2)=2a
con la sostituzione $\A=x^2+y^2+c^2$ ottengo:
$\(sqrt(A-2xc)+sqrt(A+2xc))^2=(2a)^2->..->sqrt(A^2-4x^2c^2)=2a^2-A->-x^2c^2=a^4-Aa^2$quindi:
$\-x^2c^2=a^4-(x^2+y^2+c^2)a^2->x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)
con la sostituzione $\b=sqrt(a^2-c^2)$ ottengo $\x^2/a^2+y^2/b^2=1
per quanto riguarda l'iperbole dovrei impostare i seguenti calcoli:
$\(P) inGamma se |PF_1|-|PF_2|=2a
iniziano i calcoli:
$\sqrt((-c-x)^2+(-y)^2)-(sqrt((c-x)^2+(-y)^2)=2a>sqrt(c^2+x^2+2xc+y^2)-sqrt(c^2+x^2-2xc+y^2)=2a
$\(sqrt(A+2xc)-sqrt(A-2xc))^2=(2a)^2->..->-sqrt(A^2-4x^2c^2)=2a^2-A->2A^2+4x^2c^2=4a^2-4a^2A$ da qui dovrei arrivare al punto in cui devo sostituire $\b=sqrt(c^2-a^2)$ e trovarmi $\x^2/a^2-y^2/b^2=1
ma non ci riesco:(
dove sbaglio?
Risposte
Evidenzierei che dimostrazione dell'iperbole o dimostrazione dell'ellisse non sono locuzioni sensate in quanto tu non dimostri un oggetto matematico. In questo caso dimostri una particolare formula generale per rappresentare quell'oggetto.
Comunque le formule sono esattamente le stesse (il meno si perde presto durante uno dei vari elevamenti al quadrato)... L'unica differenza è alla fine. Se infatti nella formula finale dell'ellisse sostituisci $b = \sqrt(c^2-a^2)$ ricavi la formula dell'iperbole. La scelta tra le due sostituzioni è ovviamente determinata dal fatto che in un caso $a>c$ e nell'altro $c>a$.
Comunque le formule sono esattamente le stesse (il meno si perde presto durante uno dei vari elevamenti al quadrato)... L'unica differenza è alla fine. Se infatti nella formula finale dell'ellisse sostituisci $b = \sqrt(c^2-a^2)$ ricavi la formula dell'iperbole. La scelta tra le due sostituzioni è ovviamente determinata dal fatto che in un caso $a>c$ e nell'altro $c>a$.
ecco,il problema è che svolgendo i calcoli come sopras elencati il segno meno nn si perde,ma fa cambiare un po tutto
iniziamo i calcoli:
$\sqrt((x+c)^2+(y)^2)-sqrt((x-c)^2+(y)^2)=2a$
$sqrt((x+c)^2+(y)^2)=2a+sqrt((x-c)^2+(y)^2)$
$c^2+x^2+2xc+y^2=4a^2+x^2+y^2-2cx+4a(sqrt((x-c)^2+(y)^2))$
$xc-a^2=a(sqrt((x-c)^2+(y)^2))$
$x^2c^2+a^4-2a^2cx=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2-2a^2cx$
$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$
ora è finito. Basta porre $b^2=c^2-a^2$
$\sqrt((x+c)^2+(y)^2)-sqrt((x-c)^2+(y)^2)=2a$
$sqrt((x+c)^2+(y)^2)=2a+sqrt((x-c)^2+(y)^2)$
$c^2+x^2+2xc+y^2=4a^2+x^2+y^2-2cx+4a(sqrt((x-c)^2+(y)^2))$
$xc-a^2=a(sqrt((x-c)^2+(y)^2))$
$x^2c^2+a^4-2a^2cx=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2-2a^2cx$
$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$
ora è finito. Basta porre $b^2=c^2-a^2$
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