Dimostrazione invertibilità di una matrice quadrata
Salve,
devo fare un esercizio che mi chiede tra altre cose di dimostrare che una matrice quadrata, di cui mi dice anche l'inversa, è invertibile. Il libro fin ora non ha trattato argomenti quali il determinante e il rango. Ho visto topic vecchi su questo forum in cui si dice che se (e solo se) i vettori colonna della matrice considerata sono linearmente indipendenti, allora la matrice è invertibile.
Io, 1) non riesco a dimostrare l'affermazione appena citata
2) non riesco a dimostrare che i vettori colonna della matrice indicata sono linearmente indipendenti
devo fare un esercizio che mi chiede tra altre cose di dimostrare che una matrice quadrata, di cui mi dice anche l'inversa, è invertibile. Il libro fin ora non ha trattato argomenti quali il determinante e il rango. Ho visto topic vecchi su questo forum in cui si dice che se (e solo se) i vettori colonna della matrice considerata sono linearmente indipendenti, allora la matrice è invertibile.
Io, 1) non riesco a dimostrare l'affermazione appena citata
2) non riesco a dimostrare che i vettori colonna della matrice indicata sono linearmente indipendenti
Risposte
Per 2) è semplice: devi far vedere che $alpha_1v_1+alpha_nv_n=0$ implica che $a_1,...,alpha_n=0$. Cioè l'unico modo per ottenere il vettore nullo è che tutti gli scalari siano nulli.
sì è l'altra il problema!!
Sinceramente senza usare il rango o il determinante non saprei nemmeno io come dimostrare la 1)...
non posso usare neanche il concetto di isomorfismo
posso usare i concetti di vettori linearmente indipendenti, base, vettori colonna, spazi vettoriali
Ho provato a riguardare ma nulla, mi spiace. Senza tali strumenti non saprei come fare così su due piedi
Ciao. Il primo punto è, in realtà, molto più semplice di quanto non ti sembri.
Per verificare che un oggetto matematico goda di una certa proprietà, devi far riferimento prima di tutto alla definizione di questa proprietà.
Quindi, per dimostrare che una matrice $M$ è invertibile devi, prima di tutto, raccogliere le idee sulla definizione di matrice invertibile (o su tutte le proprietà equivalenti alla definizione, come determinante non nullo, ecc., le quali, però, in questo caso ti sono precluse perché ritenute ancora non dimostrate).
Una matrice $M$ è invertibile se e solo se esiste una matrice $P$, quadrata e dello stesso ordine di $M$, tale che $MP=I_n$ e $PM=I_n$.
Alla luce di questo, cosa ti serve per provare che $M$ è invertibile?
Ovviamente trovare una matrice $P$ come sopra.
Sbaglio o l'esercizio fornisce già una matrice da utilizzare come $P$?
Per verificare che un oggetto matematico goda di una certa proprietà, devi far riferimento prima di tutto alla definizione di questa proprietà.
Quindi, per dimostrare che una matrice $M$ è invertibile devi, prima di tutto, raccogliere le idee sulla definizione di matrice invertibile (o su tutte le proprietà equivalenti alla definizione, come determinante non nullo, ecc., le quali, però, in questo caso ti sono precluse perché ritenute ancora non dimostrate).
Una matrice $M$ è invertibile se e solo se esiste una matrice $P$, quadrata e dello stesso ordine di $M$, tale che $MP=I_n$ e $PM=I_n$.
Alla luce di questo, cosa ti serve per provare che $M$ è invertibile?
Ovviamente trovare una matrice $P$ come sopra.
Sbaglio o l'esercizio fornisce già una matrice da utilizzare come $P$?
è una formula l'inversa e si dimostra mediante le proprietà del prodoto di matrici, non facendo la moltiplicazione con le componenti
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