Dimostrazione identità

[dadino161]

Ciao a tutti!
Qualche idea per dimostrare l'identità
\(\textbf{w} \wedge rot \textbf{w} = \frac{1}{2}\nabla (|\textbf{w}|^2) - (\textbf{w}\cdot \nabla) \textbf{w} ??? \)
Io non ci capisco molto di calcolo vettoriale e ho provato diverse volte, ma non so più dove sbattere la testa!

[Pappappero1]

Non ho verificato se l'identità è vera. In genere, se non si hanno idee per semplificare le cose a occhio, dovrebbe essere sufficiente sviluppare tutto quanto da una parte e dall'altra e verificare che i due termini sono uguali.

Tuttavia c'è una cosa che così a occhio non mi torna. Per il prodotto vettoriale vale quella che si chiama identità di Lagrange (quella che si ricorda con la formulina bac meno cab), e cioè:
\[
a \times b \times c = b(a \cdot c) - c (a \cdot b)
\]

In genere per applicarla ai rotori bisogna fare attenzione, però mi sembra che qui si possa fare senza problemi, e dovrebbe risultare:

\[
w \times \nabla \times w = \nabla (w \cdot w) - (\nabla \cdot w) w
\]

che coincide con quella da te proposta, senza $1/2$ al primo addendo.

Sei sicuro che ci sia quel $1/2$??

[dadino161]

eh si... sicuro...ho provato a sviluppare il tutto, ma non so come trattare con il gradiente...
partendo da
\( (u\cdot \nabla) u \)
come faccio?il gradiente di un vettore è \( \frac{\partial u}{\partial x}\hat{u}_x + \)i rispettivi per le altre variabili?

[Pappappero1]

La scrittura così com'è non ha molto senso. Io intenderei quel $u \cdot \nabla$ come un $\nabla \cdot u$ ovvero come una divergenza.