Dimostrazione formula per calcolo matrice inversa

[Ormesi16]

Salve a a tutti, sono appena arrivato ed ho già bisogno del vostro aiuto, non riesco a dimostrare la formula che segue per il calcolo della matrice inversa:

$ COF(A)^T * A = det(A)*I $

da cui

$ {COF(A)^T}/ det(A) = A^-1 $

dove A è la matrice di cui voglio calcolare l'inversa e $ COF(A)^T $ la matrice dei colatori trasposta relativa ad A. Mentre I è la matrice identità.
potete aiutarmi?

[jJjjJ1]

Per colatori intendi complementi algebrici o no?

In tal caso dovrebbe tornare così.
Sia $A$ invertibile, allora ricerchiamo $A^(-1) : A(A^(-1)) = I_n$

Ciò equivale a risolvere il sistema rappresentato da:

$A(A^(-1))^1 = e^1$
.
.
.
$A(A^(-1))^n = e^n$

Ognuna delle righe precedenti mi rappresenta però un sistema, in particolare:

$A(A^(-1))^j = e^j$

E' una generica riga del precedente, ed è un sistema nelle incognite
$c_{1j}, . . . , c_{nj} $ che sono i coefficienti della colonna $j$-esima di $A^(-1)$

Allora usando il metodo di Cramer possiamo porre:

$c_{ij} = \frac{ det( A^1, . . . , e^j, . . . , A^n ) }{ det( A ) }$

Nota che $e^j$ è messa all'$i$-esimo posto.
Possiamo allora sviluppare il determinante a numeratore rispetto alla colonna $i$-esima, ovvero la colonna $e^j$ e otteniamo, ricordando lo sviluppo di Laplace:

$c_{ij} = \frac{ (-1)^(j + i) det( A_{ji} )}{ det( A ) }$

Dove $det( A_{ji} )$ è il determinante della matrice ottenuta da $A$ sopprimendo la $j$-esima riga e la $i$-esima colonna

Adesso prendiamo la matrice $D$ fatta da $d_{ij} = (-1)^(j + i) det( A_{ji} )$ ovvero dai complementi algebrici di $A$, allora $A^(-1) = \frac{ D^T }{ det( A ) } $

Se non ho fatto casino con gli indici dovrebbe andare.

[Ormesi16]

Grazie, con questo che hai scritto ed il libro ci ho capito qualcosa finalmente haha