Dimostrazione Equivalenza tra energie
Buongiorno, ho un quesito relativo ad un argomento di meccanica dei solidi. In particolare una dimostrazione di tipo puramente matematico che viene spesso indicata come equivalenza tra energie coniugate.
Si vuole dimostrare che il prodotto doppio tra i due tensori del secondo ordine è equivalente ad un prodotto doppio di altri due tensori del secondo ordine:
\(\displaystyle T : d = P : \dot F \)
\(\displaystyle T : d =T :\dot F F^{-1}\)
\(\displaystyle T : d =T :\dot F F^{-1}\) siccome \(\displaystyle T =P F^T \)
\(\displaystyle T : d =P F^T :\dot F F^{-1}\)
Ora concentrandosi sul termine a destra dell'uguale in notazione indiciale è:
\(\displaystyle P_{ij} (e_i \otimes E_i) F_{kl} (E_k \otimes e_l) : \dot F_{uv} (e_u \otimes E_v) F_{ps}^{-1} (e_p \otimes E_s)\) --> k=j e p=v
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} (e_i \otimes e_l) : \dot F_{uv} F_{vs}^{-1} (e_u \otimes E_s) \)
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{uv} F_{vs}^{-1} \delta_{iu} \delta_{ls} \) dunque u=i, s=l
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1} \)
In quest'ultimo passaggio è il problema. Nel senso che non capisco che proprietà o considerazione deve essere fatta per ottenere:
\(\displaystyle P_{ij} \dot F_{ij}\) Ossia: \(\displaystyle P: \dot F\)
Grazie a tutti per l'attenzione.
Si vuole dimostrare che il prodotto doppio tra i due tensori del secondo ordine è equivalente ad un prodotto doppio di altri due tensori del secondo ordine:
\(\displaystyle T : d = P : \dot F \)
\(\displaystyle T : d =T :\dot F F^{-1}\)
\(\displaystyle T : d =T :\dot F F^{-1}\) siccome \(\displaystyle T =P F^T \)
\(\displaystyle T : d =P F^T :\dot F F^{-1}\)
Ora concentrandosi sul termine a destra dell'uguale in notazione indiciale è:
\(\displaystyle P_{ij} (e_i \otimes E_i) F_{kl} (E_k \otimes e_l) : \dot F_{uv} (e_u \otimes E_v) F_{ps}^{-1} (e_p \otimes E_s)\) --> k=j e p=v
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} (e_i \otimes e_l) : \dot F_{uv} F_{vs}^{-1} (e_u \otimes E_s) \)
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{uv} F_{vs}^{-1} \delta_{iu} \delta_{ls} \) dunque u=i, s=l
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1} \)
In quest'ultimo passaggio è il problema. Nel senso che non capisco che proprietà o considerazione deve essere fatta per ottenere:
\(\displaystyle P_{ij} \dot F_{ij}\) Ossia: \(\displaystyle P: \dot F\)
Grazie a tutti per l'attenzione.
Risposte
Non lo so, mi sembra un po' un casino, MA ho una domanda. Perché mischi la notazione con il $:$ e quella con gli indici? Mi riferisco alla prima equazione di quel blocco grande. Vedo sia indici sia $:$ e questa è una ottima ricetta per sbagliare. O usi gli indici, o usi le notazioni senza coordinate come $:$.
Buongiorno dissonance,
L'utilizzo della notazione indiciale assieme al simbolo : l'ho vista in diversi libri in verità.
Come quello che sto usando ora ossia: Nonlinear Solid Mechanics, Gerhard A. Holzapfel.
Al link un'immagine tratta da questo testo ove impiega la mia stessa notazione.
https://imagizer.imageshack.com/img924/5919/9BrAeS.jpg
Tuttavia se l'osservazione è che la scrittura in questa forma possa essere in qualche modo fuorviante cercherò di valutare altre notazioni più coerenti.
Grazie mille per l'osservazione.
L'utilizzo della notazione indiciale assieme al simbolo : l'ho vista in diversi libri in verità.
Come quello che sto usando ora ossia: Nonlinear Solid Mechanics, Gerhard A. Holzapfel.
Al link un'immagine tratta da questo testo ove impiega la mia stessa notazione.
https://imagizer.imageshack.com/img924/5919/9BrAeS.jpg
Tuttavia se l'osservazione è che la scrittura in questa forma possa essere in qualche modo fuorviante cercherò di valutare altre notazioni più coerenti.
Grazie mille per l'osservazione.
Ma no, vabbé, mica devi farmi contento, dicevo solo perché magari questo può aiutare a trovare il bandolo della matassa. Per me puoi usare tutte le notazioni che vuoi.
In ogni caso, il problema è facile da risolvere. In generale,
\[
AB:A'B'=a_{ik}b_{kj}a'_{ik'}b'_{k'j}.\]
Siamo d'accordo? Se si, allora andiamo a sostituire
\[
A=P, B=F^T, A'=\dot{F}, B'=F^{-1}, \]
ed ecco che viene fuori
\[
P_{ik} F_{jk}\dot{F}_{jk'}F^{-1}_{k'j}, \]
che mi pare la stessa cosa dell'ultima equazione che tu hai scritto (modulo l'ordine degli indici in \(F_{jl}\), nella tua equazione, secondo me devi invertire \(j\) e \(l\)).
In ogni caso, il problema è facile da risolvere. In generale,
\[
AB:A'B'=a_{ik}b_{kj}a'_{ik'}b'_{k'j}.\]
Siamo d'accordo? Se si, allora andiamo a sostituire
\[
A=P, B=F^T, A'=\dot{F}, B'=F^{-1}, \]
ed ecco che viene fuori
\[
P_{ik} F_{jk}\dot{F}_{jk'}F^{-1}_{k'j}, \]
che mi pare la stessa cosa dell'ultima equazione che tu hai scritto (modulo l'ordine degli indici in \(F_{jl}\), nella tua equazione, secondo me devi invertire \(j\) e \(l\)).
Allora sono perfettamente d’accordo tranne per l’ultimo passaggio che non mi torna. Non perché sia sbagliato forse son io che non capisco come funziona.
Nel senso che con gli indici così sembra che non possa essere svolto il prodotto a meno che k=j perché il numero di colonne di P dovrebbe essere uguale alle righe di F.
Nell’ultimo passaggio ottenevo:
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1} \)
Ossia:
\(\displaystyle A_{il}B_{il}\) che è la definizione di \(\displaystyle A : B\)
Quello che in realtà non capisco è come passa da:
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1} \) a \(\displaystyle P_{ij} F_{ij}\)
Questo stesso passaggio lo fa anche in forma tensoriale così:
\(\displaystyle T : \dot F F^{-1} = F^{-T}T : \dot F\)
Perdona l’utilizzo di T quando c’è anche il trasposto T che confonde.
Comunque non capisco come fa a togliere \(\displaystyle F^{-1}\) e mettere \(\displaystyle F^{-T}\) a sinistra. Non trovò una proprietà che lo giustifichi.
Grazie per la pazienza
Nel senso che con gli indici così sembra che non possa essere svolto il prodotto a meno che k=j perché il numero di colonne di P dovrebbe essere uguale alle righe di F.
Nell’ultimo passaggio ottenevo:
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1} \)
Ossia:
\(\displaystyle A_{il}B_{il}\) che è la definizione di \(\displaystyle A : B\)
Quello che in realtà non capisco è come passa da:
\(\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1} \) a \(\displaystyle P_{ij} F_{ij}\)
Questo stesso passaggio lo fa anche in forma tensoriale così:
\(\displaystyle T : \dot F F^{-1} = F^{-T}T : \dot F\)
Perdona l’utilizzo di T quando c’è anche il trasposto T che confonde.
Comunque non capisco come fa a togliere \(\displaystyle F^{-1}\) e mettere \(\displaystyle F^{-T}\) a sinistra. Non trovò una proprietà che lo giustifichi.
Grazie per la pazienza
Secondo me, qui:
lui nota che \(F_{jl}F^{-1}_{vl}=\delta_{jv}\), per definizione di matrice inversa. E quindi può andare a sostituire ed ecco che trova
\[
P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1}= P_{ij}\dot F_{iv}\delta_{jv}, \]
quindi può togliere la \(\delta\) a patto di cambiare tutti gli indici \(v\) in \(j\), e il risultato finale è
\[
P_{ij}\dot{F}_{ij}.\]
\[\displaystyle P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1}\]
lui nota che \(F_{jl}F^{-1}_{vl}=\delta_{jv}\), per definizione di matrice inversa. E quindi può andare a sostituire ed ecco che trova
\[
P_{ij} F_{jl} \dot F_{iv} F_{vl}^{-1}= P_{ij}\dot F_{iv}\delta_{jv}, \]
quindi può togliere la \(\delta\) a patto di cambiare tutti gli indici \(v\) in \(j\), e il risultato finale è
\[
P_{ij}\dot{F}_{ij}.\]
In effetti il risultato è quello ma forse ho trovato una soluzione più rigorosa vediamo se torna.
Allora, partendo dal principio:
\(\displaystyle T : d =T :\dot F F^{-1}\)
Applicando la proprietà: \(\displaystyle A : BC =AC^T : B \)
Si ottiene: \(\displaystyle T :\dot F F^{-1} =TF^{-T} : \dot F \)
Ma, \(\displaystyle T =PF^T \) , sostituendo nella precedente: \(\displaystyle T :\dot F F^{-1} =PF^TF^{-T} : \dot F \)
Conseguentemente:
\(\displaystyle T : d =P : \dot F \) cvd
Ora la parte divertente con indici:
\(\displaystyle P_{ij} (e_i \otimes E_j) F_{kl} (E_k \otimes e_l) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q) F_{rs}^{-1} (e_r \otimes E_s)\) , Applico la proprietà : \(\displaystyle A : BC =AC^T : B \)
\(\displaystyle P_{ij} (e_i \otimes E_j) F_{kl} (E_k \otimes e_l) F_{sr}^{-1} (E_s \otimes e_r) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
\(\displaystyle P_{ij}F_{kl}\delta_{jk}(e_i \otimes e_l) F_{sr}^{-1} (E_s \otimes e_r) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
\(\displaystyle P_{ij}F_{kl}\delta_{jk} \delta_{ls}F_{sr}^{-1} (e_i \otimes e_r) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
Contrazione degli indici: \(\displaystyle k=j, s=l\)
\(\displaystyle P_{ij}F_{jl} F_{lr}^{-1} (e_i \otimes e_r) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
Notando che: \(\displaystyle F_{jl} F_{lr}^{-1}= \delta_{jr}, r=j\)
\(\displaystyle P_{ij} (e_i \otimes e_j) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
\(\displaystyle P_{ij} \dot F_{pq} \delta_{ip} \delta_{jq}\) , contraendo gli indici \(\displaystyle p=i, q=j\)
\(\displaystyle P_{ij} \dot F_{ij} = P:\dot F \)
Grazie Dissonance per il supporto
Allora, partendo dal principio:
\(\displaystyle T : d =T :\dot F F^{-1}\)
Applicando la proprietà: \(\displaystyle A : BC =AC^T : B \)
Si ottiene: \(\displaystyle T :\dot F F^{-1} =TF^{-T} : \dot F \)
Ma, \(\displaystyle T =PF^T \) , sostituendo nella precedente: \(\displaystyle T :\dot F F^{-1} =PF^TF^{-T} : \dot F \)
Conseguentemente:
\(\displaystyle T : d =P : \dot F \) cvd
Ora la parte divertente con indici:
\(\displaystyle P_{ij} (e_i \otimes E_j) F_{kl} (E_k \otimes e_l) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q) F_{rs}^{-1} (e_r \otimes E_s)\) , Applico la proprietà : \(\displaystyle A : BC =AC^T : B \)
\(\displaystyle P_{ij} (e_i \otimes E_j) F_{kl} (E_k \otimes e_l) F_{sr}^{-1} (E_s \otimes e_r) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
\(\displaystyle P_{ij}F_{kl}\delta_{jk}(e_i \otimes e_l) F_{sr}^{-1} (E_s \otimes e_r) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
\(\displaystyle P_{ij}F_{kl}\delta_{jk} \delta_{ls}F_{sr}^{-1} (e_i \otimes e_r) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
Contrazione degli indici: \(\displaystyle k=j, s=l\)
\(\displaystyle P_{ij}F_{jl} F_{lr}^{-1} (e_i \otimes e_r) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
Notando che: \(\displaystyle F_{jl} F_{lr}^{-1}= \delta_{jr}, r=j\)
\(\displaystyle P_{ij} (e_i \otimes e_j) : \dot F_{pq} (e_p \otimes E_q)\)
\(\displaystyle P_{ij} \dot F_{pq} \delta_{ip} \delta_{jq}\) , contraendo gli indici \(\displaystyle p=i, q=j\)
\(\displaystyle P_{ij} \dot F_{ij} = P:\dot F \)
Grazie Dissonance per il supporto
Mi sembra che tu faccia troppi passaggi, ma deve piacere a te, non a me. L'importante è che il risultato sia giusto
Concordo pienamente, in effetti usare gli indici non serve a nulla qua.
Nella notazione tensoriale l’ho fatto in 3 passaggi.
Ho riportato la scrittura con gli indici giusto per divertimento e come complemento nel caso a qualcuno servisse.
Perfetto direi che può considerarsi conclusa la mia richiesta.
Grazie mille e buona continuazione
Nella notazione tensoriale l’ho fatto in 3 passaggi.
Ho riportato la scrittura con gli indici giusto per divertimento e come complemento nel caso a qualcuno servisse.
Perfetto direi che può considerarsi conclusa la mia richiesta.
Grazie mille e buona continuazione
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