Dimostrazione endomorfismo semplice
Salve a tutti. L'esercizio in questione è questo:
"Dimostrare che un endomorfismo L:V $\rightarrow$ V con V $!=$ {$0_v$} e Im(L)=Ker(L), non è un endomorfismo semplice."
Pensavo di usare la relazione che lega la dimensione di un autospazio con la molteplicità di un autovalore, in particolare con l'autovalore 0 che genera l'autospazio V(0) = Ker(L). Dopo di questo però non saprei come procedere! Potete darmi una mano?
"Dimostrare che un endomorfismo L:V $\rightarrow$ V con V $!=$ {$0_v$} e Im(L)=Ker(L), non è un endomorfismo semplice."
Pensavo di usare la relazione che lega la dimensione di un autospazio con la molteplicità di un autovalore, in particolare con l'autovalore 0 che genera l'autospazio V(0) = Ker(L). Dopo di questo però non saprei come procedere! Potete darmi una mano?
Risposte
inizia a scrivere la dimostrazione e vediamo dove ti blocchi...
Ok.
Per dimostrare che l'endomorfismo in questione non è semplice, basta verificare che la dimensione di uno degli autospazi generati dagli autovalori della matrice $M^E_L(E)$ è minore della molteplicità dell'autovalore. Ora, abbiamo sicuramente che un autovalore è 0, altrimenti il Ker(L)={$0_v$}=Im(L), quindi siccome dimV=dim Ker(L)+ dim Im(L), avremmo V={$0_v$} contro l'ipotesi iniziale. dim V(0)=dim Ker(L) per definizione...da qui posso concludere che la molteplicità di 0 è uguale alla dimensione (non credo)..ecco, non saprei come continuare!
Per dimostrare che l'endomorfismo in questione non è semplice, basta verificare che la dimensione di uno degli autospazi generati dagli autovalori della matrice $M^E_L(E)$ è minore della molteplicità dell'autovalore. Ora, abbiamo sicuramente che un autovalore è 0, altrimenti il Ker(L)={$0_v$}=Im(L), quindi siccome dimV=dim Ker(L)+ dim Im(L), avremmo V={$0_v$} contro l'ipotesi iniziale. dim V(0)=dim Ker(L) per definizione...da qui posso concludere che la molteplicità di 0 è uguale alla dimensione (non credo)..ecco, non saprei come continuare!
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Poiché $ V \ne \{ \mathbf{0}_V \} $, $ \text{dim} $ $ V > 0 $.
Per il Teorema del Rango, essendo $ \text{ker} $ $ L = \text{Im} $ $ L $, $ \text{dim} $ $ V = 2 $ $ \text{dim} $ $ \text{ker} $ $ L > 0 $ e quindi $ 0 $ è autovalore per $ L $; in particolare l'autovalore $ 0 $ è unico, dato che $ V(0) = \text{ker} $ $ L = \text{Im} $ $ L $.
Sia infatti $ \lambda \ne 0 $ autovalore per $ L $; allora esiste un vettore $ \mathbf{v} \in V $ $ \setminus \{ \mathbf{0}_V \} $ tale per cui $ L(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v} $.
D'altronde, $ \lambda \mathbf{v} \in \text{Im} $ $ L = V(0) $, ma questo è impossibile per l'ipotesi $ \lambda \ne 0 $.
A te l'onore di concludere.
Per il Teorema del Rango, essendo $ \text{ker} $ $ L = \text{Im} $ $ L $, $ \text{dim} $ $ V = 2 $ $ \text{dim} $ $ \text{ker} $ $ L > 0 $ e quindi $ 0 $ è autovalore per $ L $; in particolare l'autovalore $ 0 $ è unico, dato che $ V(0) = \text{ker} $ $ L = \text{Im} $ $ L $.
Sia infatti $ \lambda \ne 0 $ autovalore per $ L $; allora esiste un vettore $ \mathbf{v} \in V $ $ \setminus \{ \mathbf{0}_V \} $ tale per cui $ L(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v} $.
D'altronde, $ \lambda \mathbf{v} \in \text{Im} $ $ L = V(0) $, ma questo è impossibile per l'ipotesi $ \lambda \ne 0 $.
A te l'onore di concludere.
Scusa un attimo, prima della conclusione...dimensione di V è 2 anche in generale? non potrebbe essere 4 o comunque un multiplo di 2?
Comunque io direi che siccome 0 è unico autovalore, ha molteplicità V (tanto per capirci). La dimensione di V(0) però è uguale a V/2, quindi l'endomorfismo non è semplice...è esatto?
Comunque io direi che siccome 0 è unico autovalore, ha molteplicità V (tanto per capirci). La dimensione di V(0) però è uguale a V/2, quindi l'endomorfismo non è semplice...è esatto?
"Fabiobreo":
Scusa un attimo, prima della conclusione...dimensione di V è 2 anche in generale? non potrebbe essere 4 o comunque un multiplo di 2?
Ci siamo capiti male:
$ \text{dim} $ $ V = 2 \cdot \text{dim} $ $ \text{ker} $ $ L > 0 $.
Noi non conosciamo $ \text{dim} $ $ V $, sappiamo solo che è pari e non nulla.
"Fabiobreo":
Comunque io direi che siccome 0 è unico autovalore, ha molteplicità V (tanto per capirci). La dimensione di V(0) però è uguale a V/2, quindi l'endomorfismo non è semplice...è esatto?
Non serve identificare la molteplicità algebrica, basta osservare che $ \text{dim} $ $ V > \text{dim} $ $ V(0) $ e che quindi $ L $ non può essere semplice.
sì, scusa, avevo sbagliato a leggere io. Ok, grazie mille, ti sono debitore 
Figurati.
Comunque, nota l'unicità dell'autovalore $ 0 $, si può anche osservare che $ L $ non è semplice in quanto la matrice nulla è simile soltanto a se stessa.
Comunque, nota l'unicità dell'autovalore $ 0 $, si può anche osservare che $ L $ non è semplice in quanto la matrice nulla è simile soltanto a se stessa.
Scusate, ma non dovrebbe essere "normale" che dim V > dim V(0) ?
Non dovrei piuttosto dimostrare che se il Ker(L) è il solo zero, allora l' Im(L) è il solo zero e quindi tutti gli autospazi hanno dimensione zero, per cui l'endomorfismo non è semplice?
Questa è solo un'intuizione, sto cercando anche io di fare la dimostrazione
Non dovrei piuttosto dimostrare che se il Ker(L) è il solo zero, allora l' Im(L) è il solo zero e quindi tutti gli autospazi hanno dimensione zero, per cui l'endomorfismo non è semplice?
Questa è solo un'intuizione, sto cercando anche io di fare la dimostrazione
"DavideF":
Scusate, ma non dovrebbe essere "normale" che dim V > dim V(0) ?
Se consideri un endomorfismo su $ V $ diagonalizzabile che possiede un solo autovalore, hai trovato un esempio di endomorfismo che ha $ \text{dim}\ V(\lambda) = \text{dim}\ V $.
"DavideF":
Non dovrei piuttosto dimostrare che se il Ker(L) è il solo zero, allora l' Im(L) è il solo zero e quindi tutti gli autospazi hanno dimensione zero, per cui l'endomorfismo non è semplice?
Questa è solo un'intuizione, sto cercando anche io di fare la dimostrazione
In questo modo non sai cosa dire delle $ L $ non iniettive.
Comunque, il teorema del Rango e l'ipotesi iniziale sulla dimensione di $ V $ ti dicono che è impossibile che $ \text{ker}\ L $ abbia dimensione zero.
Inoltre, non esistono autospazi di dimensione zero.
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