Dimostrazione di una base.
Si dimostri che \(\displaystyle B \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \)
\(\displaystyle B=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\} \).
Vi riporto il mio svolgimento.
Occorre verificare le seguenti proprietà:
1) \(\displaystyle Span(B) \)=\(\displaystyle \mathbb{R^3} \)
2) I vettori di \(\displaystyle B \) siano linearmente indipendenti.
Per quanto riguarda la seconda proprietà, si vede ad occhio che la matrice associata a \(\displaystyle B \) risulta essere ridotta a scala, quindi le righe non nulle " nessuna " risultano essere linearmente indipendenti.
Invece per la prima,
\(\displaystyle Span(v_1,v_2,v_3)=\{a_1\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} + a_2\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\} \).
Devo risolvere il seguente sistema
\(\displaystyle S=\begin{cases} a_1+a_2+a_3=b_1 \\ a_2+a_3=b_2 \\ a_3=b_3 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a_1=b_1-b_2 \\ a_2=b_2-b_3 \\ a_3=b_3 \end{cases} \).
Sia \(\displaystyle v=(b_1,b_2,b_3) \).
\(\displaystyle \forall v \in \mathbb{R^3} , \exists (a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}:Span(B)=\mathbb{R^3}\).
Corretto ??
Ciao.
\(\displaystyle B=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\} \).
Vi riporto il mio svolgimento.
Occorre verificare le seguenti proprietà:
1) \(\displaystyle Span(B) \)=\(\displaystyle \mathbb{R^3} \)
2) I vettori di \(\displaystyle B \) siano linearmente indipendenti.
Per quanto riguarda la seconda proprietà, si vede ad occhio che la matrice associata a \(\displaystyle B \) risulta essere ridotta a scala, quindi le righe non nulle " nessuna " risultano essere linearmente indipendenti.
Invece per la prima,
\(\displaystyle Span(v_1,v_2,v_3)=\{a_1\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} + a_2\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\} \).
Devo risolvere il seguente sistema
\(\displaystyle S=\begin{cases} a_1+a_2+a_3=b_1 \\ a_2+a_3=b_2 \\ a_3=b_3 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a_1=b_1-b_2 \\ a_2=b_2-b_3 \\ a_3=b_3 \end{cases} \).
Sia \(\displaystyle v=(b_1,b_2,b_3) \).
\(\displaystyle \forall v \in \mathbb{R^3} , \exists (a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}:Span(B)=\mathbb{R^3}\).
Corretto ??
Ciao.
Risposte
Conseguenza del lemma di Steinitz è che se hai $3$ vettori linearmente indipendenti in $RR^3$ allora essi sono anche generatori. 
Si grazie 
ma volendo seguire il mio percorso, sono corretti i passaggi che ho fatto ?
ma volendo seguire il mio percorso, sono corretti i passaggi che ho fatto ?
Dimostrare che un insieme di vettori sono dei generatori equivale a dimostrare che
i.e. si deve dimostrare che per ogni vettore in $RR^3$ esiste una C.L. di $v_1,v_2,v_3$ che lo generi; tutto ciò, sfruttando il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, equivale a dimostrare che
secondo te $EE w in RR^3 | AA alpha,beta, gamma in RR , qquad alpha v_1+betav_2+gammav_3new$ ?
$AA w in RR^3, qquad EE alpha, beta, gamma, in RR | alpha v_1+betav_2+gammav_3=w$
i.e. si deve dimostrare che per ogni vettore in $RR^3$ esiste una C.L. di $v_1,v_2,v_3$ che lo generi; tutto ciò, sfruttando il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, equivale a dimostrare che
$r( ( alpha , beta , gamma ),( 0 , beta , gamma ),( 0,0 , gamma ) ) =r( ( alpha , beta , gamma|w_1 ),( 0 , beta , gamma|w_2 ),( 0,0 , gamma|w_3 ) ), qquad AA w:=((w_1),(w_2),(w_3)) in RR^3$
secondo te $EE w in RR^3 | AA alpha,beta, gamma in RR , qquad alpha v_1+betav_2+gammav_3new$ ?
Ciao,
si certo; viene soddisfatta per i seguenti valori: (almeno penso)
\(\displaystyle \alpha=w_1-w_2 \)
\(\displaystyle \beta=w_2-w_3 \)
\(\displaystyle \gamma=w_3 \).
"Magma":
secondo te $ EE w in RR^3 | AA alpha,beta, gamma in RR , qquad alpha v_1+betav_2+gammav_3new $ ?
si certo; viene soddisfatta per i seguenti valori: (almeno penso)
\(\displaystyle \alpha=w_1-w_2 \)
\(\displaystyle \beta=w_2-w_3 \)
\(\displaystyle \gamma=w_3 \).
Io ho chiesto se esista un vettore in $RR^3$ che non sia c. l. di quei tre generatori.
@galles: è giusto il tuo svolgimento.
"dissonance":
@galles: è giusto il tuo svolgimento.
Grazie dissonance
."Magma":
Io ho chiesto se esista un vettore in $ RR^3 $ che non sia c. l. di quei tre generatori.
No non esiste, perché una volta che si è provato che i vettori \(\displaystyle v_1,v_2,v_3 \) sono un sistema di generatori per $RR^3$ quindi ogni altro vettore in $RR^3$ risulti combinazione lineare di \(\displaystyle v_1,v_2,v_3 \) .
"galles90":
[quote="Magma"]Io ho chiesto se esista un vettore in $ RR^3 $ che non sia c. l. di quei tre generatori.
No non esiste, perché una volta che si è provato che i vettori \(\displaystyle v_1,v_2,v_3 \) sono un sistema di generatori per $RR^3$ quindi ogni altro vettore in $RR^3$ risulti combinazione lineare di \(\displaystyle v_1,v_2,v_3 \) .[/quote]
Esatto!
Grazie per l'aiuto
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