Dimostrazione di somme dirette su somme di sottospazi

[indovina]

$[E_1+..........+E_r]=E_i(somma diretta)E_i] ->[U B_i=B]$

Cioè devo dimostrare che somma di spazi vettoriali in forma di somme dirette necessariamente implica l'esistenza di una base che è base per tutti gli spazi vettoriali.
(Non so se ho spiegato bene)

Io ho dimostrato da sinistra verso destra (ponendo come ipotesi le somme dirette degli spazi vettoriali e come tesi le basi)

E è somma diretta di $r$ sottospazi vettoriali.
Nella somma diretta ci sono anche i vettori nulli.
L'unico modo per rappresentarli è $0=K_1*e_1+............+K_r*e_r$ (combinazione lineare di ogni sottospazio vettoriale E cn gli altri)
ed è quella con coefficienti nulli $0=0+0$
Ma in questo modo i vettori sono linearmente indipendenti
Ciò implica necessariamente che la base di un sottospazio è base di tutti i sommanti diretti.
Infatti la base è definita solo quando è
1)di generatore
2)L.I

questa è la mia dimostrazione, potete dirmi se ha senso o meno?
Grazie.

[cirasa]

In realtà non si capisce molto bene ciò che vuoi dimostrare. Sii più chiaro!


Siano $E$ uno spazio vettoriale ed $E_1,...E_r$ sottospazi vettoriali di $E$, con $r\in NN$.
Che cosa sono i $B_i$?? Forse $B_i$ è una base di $E_i$, per ogni $i=1,...,r$?
L'ipotesi è che $E_1+...+E_r=E_1\oplus...\oplus E_r$
Qual è la tesi? Tu scrivi $B=B_1\cup...\cup B_r$. Vuoi dimostrare che $B$ è base di $E_1+...+E_r$?
Poi consideri $e_1,...,e_r$. Forse il sottospazio $E_i$ è generato solo da $e_i$?

Forse ciò che vuoi provare è questo:

Siano $E$ uno spazio vettoriale ed $e_1,...e_r$ vettori non nulli di $E$. Sia $E_i=$ (il sottospazio generato da $e_i$) per ogni $i=1,...,r$.
Allora sono equivalenti:
(1) $E_1+...+E_r=E_1\oplus...\oplus E_r$
(2) $(e_1,...,e_r)$ è base di $E_1+...+E_r$

E' così?

[indovina]

No.
Credo che scanerizzo proprio la formula, altrimenti, non si capisce.
Scusatemi.