Dimostrazione di ortogonalità fra autospazi
Sarei grato a chi fosse in grado di spiegarmi come fare, io non ne ho proprio idea.
Il quesito è il seguente:
Sia $f$ un endomorfismo simmetrico di $R^n$ e siano $\lambda_1$ e $\lambda_2$ due suoi autovalori, con $\lambda_1!=\lambda_2$. Dimostrare che ogni autovettore di autovalore $\lambda_1$ è ortogonale a ogni altro autovettore di autovalore $\lambda_1$.
come posso condurre tale dimostrazione??
Il fatto che l'endomorfismo sia simmetrico mi assicura che la sua matrice associata sia simmetrica??Ammetterà dunque degli autovalori reali e distinti??
il fatto che gli autovalori siano reali e distinti mi permette di dire che i due autospazi associati ai due autovalori sono ortogonali??
Per arrivare a dimostrare l'affermazione data devo per forza arrivar a scrivere in forma generica l'espressione dei due autospazi e verificare che per qualsiasi valore dei parametri presenti i due autospazi generano vettori fra loro ortogonali??
Oppure vi è qualche teorema o proprietà (che non conosco) che consente di arrivare alla dimostrazione in maniera immediata??
ma il fatto che i due autospazi sono ortogonali significa che sono linearmente indipendenti e dunque che non hanno vettori comuni??
Il quesito è il seguente:
Sia $f$ un endomorfismo simmetrico di $R^n$ e siano $\lambda_1$ e $\lambda_2$ due suoi autovalori, con $\lambda_1!=\lambda_2$. Dimostrare che ogni autovettore di autovalore $\lambda_1$ è ortogonale a ogni altro autovettore di autovalore $\lambda_1$.
come posso condurre tale dimostrazione??
Il fatto che l'endomorfismo sia simmetrico mi assicura che la sua matrice associata sia simmetrica??Ammetterà dunque degli autovalori reali e distinti??
il fatto che gli autovalori siano reali e distinti mi permette di dire che i due autospazi associati ai due autovalori sono ortogonali??
Per arrivare a dimostrare l'affermazione data devo per forza arrivar a scrivere in forma generica l'espressione dei due autospazi e verificare che per qualsiasi valore dei parametri presenti i due autospazi generano vettori fra loro ortogonali??
Oppure vi è qualche teorema o proprietà (che non conosco) che consente di arrivare alla dimostrazione in maniera immediata??
ma il fatto che i due autospazi sono ortogonali significa che sono linearmente indipendenti e dunque che non hanno vettori comuni??
Risposte
"Quad":
Per arrivare a dimostrare l'affermazione data devo per forza arrivar a scrivere in forma generica l'espressione dei due autospazi e verificare che per qualsiasi valore dei parametri presenti i due autospazi generano vettori fra loro ortogonali??
Oppure vi è qualche teorema o proprietà (che non conosco) che consente di arrivare alla dimostrazione in maniera immediata??
Direi la seconda....per il teorema spettrale, ogni endomorfismo di $RR^n$ dato da una matrice simmetrica è diagonalizzabile, ed ha una base di autovettori ortogonali fra loro.
Se non conosci il teorema spettrale eccoti un link
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 42957.html
ciao
Per dimostrare che se $f$ è un endomorfismo simmetrico allora autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali, basta sfruttare l'ipotesi " $f$ simmetrico", cioè
$(f(u),v)=(u,f(v))$ $AA u,v in V$,dove $V$ è il nostro spazio vettoriale. A questo punto, prendiamo $u$ autovettore relativo a $\lambda_1$ e $v$ autovettore relativo a $\lambda_2$. Ora tutto dovrebbe venire da sè, prova
$(f(u),v)=(u,f(v))$ $AA u,v in V$,dove $V$ è il nostro spazio vettoriale. A questo punto, prendiamo $u$ autovettore relativo a $\lambda_1$ e $v$ autovettore relativo a $\lambda_2$. Ora tutto dovrebbe venire da sè, prova
@Relegal : scusa l'ignoranza ma non son riuscito ad afferrare il concetto di ciò che hai proposto.
@Alexp : grazie del consiglio. Dunque, se ho ben capito, per portar a termine la dimostrazione non devo far altro che dimostrare il teorema dello spettro.
ovvero dimostrare il perchè una matrice (reale) simmetrica ammette sempre una base ortogonale di autovettori.
dovrei riuscire a trovarlo in qualsiasi libro..
grazie mille per l'aiuto..non ci sarei arrivato senza..
@Alexp : grazie del consiglio. Dunque, se ho ben capito, per portar a termine la dimostrazione non devo far altro che dimostrare il teorema dello spettro.
ovvero dimostrare il perchè una matrice (reale) simmetrica ammette sempre una base ortogonale di autovettori.
dovrei riuscire a trovarlo in qualsiasi libro..
grazie mille per l'aiuto..non ci sarei arrivato senza..
Continuo da dove ho interrotto:
sfruttando le ipotesi sui vettori $u,v$ segue che $f(u)=\lambda_1u$ e $f(v)=\lambda_2v$.
Si ha dunque $(f(u),v)=(u,f(v))$, da cui $(\lambda_1u,v)=(u,\lambda_2v)$.
Portando tutto a sinistra e sfruttando le proprietà del prodotto scalare (ricordando che stiamo lavorando su uno spazio vettoriale reale): $\lambda_1(u,v)-\lambda_2(u,v)=0$.
Raccogliendo: $(\lambda_1-\lambda_2)(u,v)=0$ e poichè $\lambda_1!=\lambda_2$ segue $(u,v)=0$, cioè la tesi.
sfruttando le ipotesi sui vettori $u,v$ segue che $f(u)=\lambda_1u$ e $f(v)=\lambda_2v$.
Si ha dunque $(f(u),v)=(u,f(v))$, da cui $(\lambda_1u,v)=(u,\lambda_2v)$.
Portando tutto a sinistra e sfruttando le proprietà del prodotto scalare (ricordando che stiamo lavorando su uno spazio vettoriale reale): $\lambda_1(u,v)-\lambda_2(u,v)=0$.
Raccogliendo: $(\lambda_1-\lambda_2)(u,v)=0$ e poichè $\lambda_1!=\lambda_2$ segue $(u,v)=0$, cioè la tesi.
@ Relegal
ora ci sono..non capivo la rappresentazione che hai usato per il prodotto scalare..
dimostrazione molto snella..grazie..
nel mentre stavo provando a eseguire la dimostrazione seguendo il teorema dello spettro, ma mi son imbattuto in due interrogativi ai quali non trovo dimostrazione nel materiale che ho a disposizione, e dunque non riesco ad arrivare alla dimostrazione finale.
1)Perchè una matrice simmetrica, ad elementi reali, ammette solo autovalori reali e distinti?
2)Perchè ad autovalori reali e distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti?
e quindi non riesco a dimostrare
3)perche ad una matrice simmetrica ad elementi reali corrisponde una base ortonormale di autovettori.
ora ci sono..non capivo la rappresentazione che hai usato per il prodotto scalare..
dimostrazione molto snella..grazie..
nel mentre stavo provando a eseguire la dimostrazione seguendo il teorema dello spettro, ma mi son imbattuto in due interrogativi ai quali non trovo dimostrazione nel materiale che ho a disposizione, e dunque non riesco ad arrivare alla dimostrazione finale.
1)Perchè una matrice simmetrica, ad elementi reali, ammette solo autovalori reali e distinti?
2)Perchè ad autovalori reali e distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti?
e quindi non riesco a dimostrare
3)perche ad una matrice simmetrica ad elementi reali corrisponde una base ortonormale di autovettori.
Ti rispondo citando i risultati che soddisfano le tue domande. Mi sembra però che ti manchino le basi, in particolare mi riferisco al fatto che per poter studiare le proprietà degli endomorfismi simmetrici sia indispensabile avere ben chiari i risultati noti riguardanti la diagonalizzabilità.
Veniamo alle domande:
1) La domanda è soddisfatta dal teorema:
Sia $f$ un endomorfismo simmetrico ( al solito, sullo spazio vettoriale $RR^n$ o meglio ancora su uno spazio vettoriale euclideo ), allora il polinomio caratteristico di $f$ è totalmente riducibile su $RR$
N.B. : Un polinomio di grado $n$ $p(t)=a_0t^n+a_1t^(n-1)+...+a_n$ $ in RR[t] $ si dice totalmente riducibile su $RR$ se può essere scritto nella forma $a_0(t-\alpha_1)^(v_1)*...*(t-\alpha_r)^(v_r)$ con $\alpha_i$ $inRR AAi$ e $v_1+v_2+...+v_r=n$. Ovviamente $RR$ può essere sostituito con un generico camp $K.
2) Ti cito una proposizione la cui dimostrazione si ottiene per induzione.
Siano $V$ uno spazio vettoriale su $RR$ (o, in generale, su un campo $K$), $f$ un endomorfismo di $V$ e $v_1,...,v_r$ autovettori di $f$ relativi a $\lambda_1,...,\lambda_r$ rispettivamente, con $\lambda_i!=\lambda_j$ se $i!=j$. Allora $v_1,...,v_r$ sono linearmente indipendenti.
Questi risultati dovrebbero rispondere ai tuoi dubbi, se trovi inesattezze o imprecisioni che mi sono sfuggite segnalamelo !
Veniamo alle domande:
1) La domanda è soddisfatta dal teorema:
Sia $f$ un endomorfismo simmetrico ( al solito, sullo spazio vettoriale $RR^n$ o meglio ancora su uno spazio vettoriale euclideo ), allora il polinomio caratteristico di $f$ è totalmente riducibile su $RR$
N.B. : Un polinomio di grado $n$ $p(t)=a_0t^n+a_1t^(n-1)+...+a_n$ $ in RR[t] $ si dice totalmente riducibile su $RR$ se può essere scritto nella forma $a_0(t-\alpha_1)^(v_1)*...*(t-\alpha_r)^(v_r)$ con $\alpha_i$ $inRR AAi$ e $v_1+v_2+...+v_r=n$. Ovviamente $RR$ può essere sostituito con un generico camp $K.
2) Ti cito una proposizione la cui dimostrazione si ottiene per induzione.
Siano $V$ uno spazio vettoriale su $RR$ (o, in generale, su un campo $K$), $f$ un endomorfismo di $V$ e $v_1,...,v_r$ autovettori di $f$ relativi a $\lambda_1,...,\lambda_r$ rispettivamente, con $\lambda_i!=\lambda_j$ se $i!=j$. Allora $v_1,...,v_r$ sono linearmente indipendenti.
Questi risultati dovrebbero rispondere ai tuoi dubbi, se trovi inesattezze o imprecisioni che mi sono sfuggite segnalamelo !
Grazie Relegal si si ora è chiaro, a partire da tali proposizioni son riuscito a trovare le dimostrazioni, dunque è stato possibile sviluppare organicamente la dimostrazione 3).
grazie infinite dell'aiuto..
grazie infinite dell'aiuto..
Figurati, buono studio !
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