Dimostrazione di Grassmann.. alcuni dubbi

[opil]

Ciao a tutti!

Ancora una volta sono qui a chiedere il vostro prezioso aiuto! Sto studiando la dimostrazione della Formula di Grassmann, ma ho alcuni dubbi durante lo svolgimento della dimostrazione.

Partendo dal fatto che $dim (U + W)= dimU + dimW - dim(U∩W)$
io chiamo $dimU=p$, $dimW=q$, $dim(U∩W)=i$.

Divido la dimostrazione in due casi... nel caso in cui $i = 0$ e nel caso in cui $i != 0$.

Parto dal secondo caso.. $i!=0$... Fisso quindi una base $B_I$ costituita da $i$ vettori: $(e_1, e_2, ..., e_i)$. Applicando quindi il teorema del completamento di una base, a $B_i$ posso aggiungere $p-i$ vettori di $U$.. ottenendo così una base di $U$ che sarà
$B_U = (e_1,e_2,....,e_n,u_1,u_2,...,u_(p-i))$

Analogamente mi trovo una base di $B_W$ utilizzando lo stesso metodo.. $B_W = (e_1,e_2,....,e_n,w_1,w_2,...,w_(q-i))$

Se io ora dimostro che la base $B$ composta dall'unione dei vettori di $B_U$ e $B_W$ sia base di $B+W$ ho dimostrato il teorema..

Qui il primo dubbio ! Perchè deve essere base di $U+W$?

Continuando la dimostrazione io verifico che $B$ sia una sequenza libera e che sia una sequenza di generatori.

E qui arriva il secondo dubbio.. il libro riporta questa dimostrazione:

"$B$ è una sequenza libera. Supponiamo per assurdo che sia legata e sia
$a_1e_1+a_2e_2+...+b_1u_1+...+b_(p-i)u_(p-i)+c_1w_1+...+c_(q-i)w_(q-i)=0$
una combinazione lineare dei suoi vettori a coefficienti non tutti nulli che dà il vettore nullo. Se fossero tutti nulli i coefficienti di $b_i$ resterebbe scritta una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che dà il vettor nullo dei vettori di $B_W$, base di W, e ciò è assurdo.

Quindi il vettore
$v=b_1u_1+...+b_(p-i)u_(p-i)$
è un vettore non nullo di $U$ che appartiene anche a W."

Mi potete spiegare come mai è assurdo?? Se io ho supposto che la base $B$ sia legata e che i coefficienti di $B_i$ siano tutti nulli.. ho otttenuto una combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli che mi da il vettor nullo.. quindi questa combinazione è legata come volevo avevo ipotizzato! Dov'è quindi l'assurdo?

Grazie mille per il vostro aiuto!
Ciaoo

[opil]

Ciao!

Dopo un pò di ragionamenti ho capito in cosa consiste l'assurdo.. praticamente c'è un giro di parole per dire che io trovo una sequenza legata quando invece deve essere per forza libera!

Però ho ancora risolto il primo dubbio.. perchè $B$ deve essere base di $U+W$?

Grazie
Ciaoo!

[opil]

Nessuno ha qualche idea?

Grazie