Dimostrazione di Algebra Lineare
Ciao a tutti. Per svolgere un esercizio per casa, ho provato a dimostrare il teorema che trovate nella seguente figura:
Potreste dirmi se la mia dimostrazione è corretta? Mi scuso per aver inserito un'immagine così grande: se fosse un problema, fatemelo sapere
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Potreste dirmi se la mia dimostrazione è corretta? Mi scuso per aver inserito un'immagine così grande: se fosse un problema, fatemelo sapere
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Risposte
Non capisco perché i due inf sono uguali!
Ho sfruttato il fatto che $W=(W\setminus B)\cup(W\cap B)$.
Non credo che la dim. sia giusta - se l''argomento che usi fosse vero l'elemento di minima distanza da $v$ avrebbe norma minore o eguale alla norma di $v$.
Ora questo e' sicuramente vero se la norma e' la solita norma euclidea, ma secondo me non e' vero per una norma qualunque (ci devo pensare ancora un po'
ma credo proprio di non sbagliare).
D'altra parte l'affermazione che fai a un certo punto
" se $w\in W$ e $w\notin B$ allora $||w-v||>||v|||$"
mi pare proprio falsa, anche nel caso della norma euclidea - basta fare un disegno (prendi in $RR^2$ $v=(0,1)$ e come $W$ prendi la diagonale; allora
$||v||=1$, $w=(3/4,3/4)$ e' in $W$, e' fuori dalla palla di raggio uno, ma dista meno di uno da $v$)
Comunque l'idea e' giusta, solo devi prendere $C$ un po' piu' grosso (quanto non so, bisogna fare bene i conti)
Ora questo e' sicuramente vero se la norma e' la solita norma euclidea, ma secondo me non e' vero per una norma qualunque (ci devo pensare ancora un po'
ma credo proprio di non sbagliare).
D'altra parte l'affermazione che fai a un certo punto
" se $w\in W$ e $w\notin B$ allora $||w-v||>||v|||$"
mi pare proprio falsa, anche nel caso della norma euclidea - basta fare un disegno (prendi in $RR^2$ $v=(0,1)$ e come $W$ prendi la diagonale; allora
$||v||=1$, $w=(3/4,3/4)$ e' in $W$, e' fuori dalla palla di raggio uno, ma dista meno di uno da $v$)
Comunque l'idea e' giusta, solo devi prendere $C$ un po' piu' grosso (quanto non so, bisogna fare bene i conti)
Ti mando un esempio per esemplificare il discorso fatto prima.
Mettiamoci in $RR^2$ con la norma $||(x,y)||=|x|+|y|$; prendiamo $v=(0,1)$ e $W={(x,2x) : x\in RR}$.
Cerchiamo il punto su $W$ che ha minima distanza da $v$ - per questo prendiamo un punto generico
$w_x=(x,2x)$ in $W$: si ha
$d(x)="dist"(w_x,v)=|x|+|2x-1|$
Se si cerca il minimo di $d(x)$ (che e' affine a tratti) si vede che questo si realizza per $x=1/2$ che corrisponde a $w=w^\star = (1/2,1)$ e a
una distanza minima pari a $1/2$.
Pero' $||w^\star||=3/2$, mentre $||v||=1$
Mettiamoci in $RR^2$ con la norma $||(x,y)||=|x|+|y|$; prendiamo $v=(0,1)$ e $W={(x,2x) : x\in RR}$.
Cerchiamo il punto su $W$ che ha minima distanza da $v$ - per questo prendiamo un punto generico
$w_x=(x,2x)$ in $W$: si ha
$d(x)="dist"(w_x,v)=|x|+|2x-1|$
Se si cerca il minimo di $d(x)$ (che e' affine a tratti) si vede che questo si realizza per $x=1/2$ che corrisponde a $w=w^\star = (1/2,1)$ e a
una distanza minima pari a $1/2$.
Pero' $||w^\star||=3/2$, mentre $||v||=1$
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