Dimostrazione di algebra lineare

[gygabyte017]

Ciao a tutti, ho la seguente dimostrazione da svolgere:

Sia $f:V->V$ un endomorfismo diagonalizzabile di dimensione finita. Mostrare che $V="Im"f\oplus"Ker"f$. E' vero il viceversa?

Io ho provato a ragionare così, ma penso sia incompleto...
Sia $A$ la matrice che rappresenta $f$ in un opportuno riferimento. Se $A$ è non singolare, allora poichè $"rg"(A)=n " " => " Ker"f={0}$ e non c'è niente da dimostrare. Supponiamo quindi $A$ singolare. Ma allora $lambda=0$ è un autovalore (è vero?!?!?), e quindi si ha che l'autospazio $A(f,0) -= "Ker"f$.
Essendo $f$ diagonalizzabile, $V$ è somma diretta degli autospazi: $V=A(f,0)\oplusA(f,lambda_1)\oplus...\oplusA(f,lambda_m)="Ker"f\oplusA(f,lambda_1)\oplus...\oplusA(f,lambda_m)$.

E' corretta fino ad ora? Ora non so dovrei far vedere che $"Im"f" -= (f,lambda_1)\oplus...\oplusA(f,lambda_m)$ ??
Come vado avanti?

Grazie

[Lord K]

Sono arrugginito in materia ma penso che sia così:

Sia $n=dimV$, Siano ${lambda_1,...,lambda_n}$ gli autovalori di $f:V rightarrow V$ e siano ${v_1,...,v_n}$ i rispettivi autovettori.

$Ker(f) = {x in V: f(x)=0} = $

con $$ gli autovettori corrispondenti agli autovalori $lambda_i=0$ analogamente:

$Im(f) = $

Tutto questo deriva dalla caratterizzazione di autovalori ed autovettori. Infatti:

Sia $v in V$ allora ho due possibilià $v in Im(f)$ e ovviamente allora è espirmibile dai: $$, mentre se $v notin Im(f)$ allora siccome ${v_1,...,v_n}$ sono linearmente indipendenti e generano $V$ allora $v in $ dunque $v in Ker(f)$

[Dorian1]

Basta mostrare che $Im(f) nn Ker(f)=<0_V>$ (la formula delle dimensioni per gli omomorfismi ci dice che $Im(f)+Ker(f)=V$...).
$Ker(f)$ è anche conosciuto col nome "autospazio di zero" (come giustamente dici). Per ipotesi, $f$ è diagonalizzabile, dunque il polinomio minimo è a fattori lineari. Siamo quindi nelle ipotesi del Teorema di Decomposizione:

$V=oplus_(i=1)^r Ker(f-lambda_i)$ ove $lambda_i$ è l'$i$-esimo autovalore.
Adesso la conclusione è immediata: $Im(f)$ ammette una decomposizione in somma diretta di autospazi (la stessa di $V$, meno l'eventuale "autospazio di zero"). Sia $v in Im(f) nn Ker(f)$. Abbiamo che $f(v)=0_V$ (dal momento che $v in Ker(f)$), ed anche $f(v)=lambda_kv$ (siccome $v in Im(f)$ che è somma di autospazi, $v$ sta in un autospazio di autovalore $lambda_k!=0$)) e quindi, da $lambda_kv=0_V$, deduciamo che $v=0_V$.

[Dorian1]

"Lord K":Sono arrugginito in materia ma penso che sia così:

Sia $n=dimV$, Siano ${lambda_1,...,lambda_n}$ gli autovalori di $f:V rightarrow V$ e siano ${v_1,...,v_n}$ i rispettivi autovettori.

$Ker(f) = {x in V: f(x)=0} = $

con $$ gli autovettori corrispondenti agli autovalori $lambda_i=0$ analogamente:

$Im(f) = $

Tutto questo deriva dalla caratterizzazione di autovalori ed autovettori. Infatti:

Sia $v in V$ allora ho due possibilià $v in Im(f)$ e ovviamente allora è espirmibile dai: $$, mentre se $v notin Im(f)$ allora siccome ${v_1,...,v_n}$ sono linearmente indipendenti e generano $V$ allora $v in $ dunque $v in Ker(f)$

Perdonami Lord K, credo di non aver inteso...
Come dimostri la parte in grassetto?

[Lord K]

${v_1,...,v_n}$ sono linearmente indipendenti e generano $V$

dunque se un $v notin Im(f) = {v_(j_0),...,v_(j_k)}$ allora necessariamente $v in <{v_1,...,v_n}-{v_(j_0),...,v_(j_k)}>:= <{v_(i_0),...,v_(i_s)}>

che è $Ker(f)$

[Dorian1]

"Lord K":${v_1,...,v_n}$ sono linearmente indipendenti e generano $V$

dunque se un $v notin Im(f) = {v_(j_0),...,v_(j_k)}$ allora necessariamente $v in <{v_1,...,v_n}-{v_(j_0),...,v_(j_k)}>:= <{v_(i_0),...,v_(i_s)}>

che è $Ker(f)$

Ma quindi assumi come ipotesi che $V=Ker(f)oplusIm(f)$...

[Lord K]

No! Assumo che gli autovalori dell'endomorfismo siano $n$ e che siano linerarmente indipendenti. (mi pare ci sia un teorema a riguardo)

Dal fatto poi che ce ne siano alcuni che discendono da autovalori nulli, derivo che alcuni generano $Im(f)$ (quelli non nulli) e poi ricavo quanto specificato sopra.

[Dorian1]

"Lord K":No! Assumo che gli autovalori dell'endomorfismo siano $n$ e che siano linerarmente indipendenti. (mi pare ci sia un teorema a riguardo)

Dal fatto poi che ce ne siano alcuni che discendono da autovalori nulli, derivo che alcuni generano $Im(f)$ (quelli non nulli) e poi ricavo quanto specificato sopra.

Ciò che continuo a non capire è come tu riesca a dedurre che $Ker(f)$ e $Im(f)$ generano l'intero spazio $V$... Inoltre non capisco perchè affermi $Ker(f) nn Im(f)=<0_V>$ (puoi dirlo quando hai "trovato" una decomposizione in autospazi per $Im(f)$).

Perdona la mia petulanza... Spero che questo tentativo di seguire le linee del tuo ragionamente non ti risulti antipatico...

[Lord K]

Non mi dispiace dialogare! Anzi è sempre ben accetto, anche perchè come detto sono molto arrugginito su queste cose e potrei sbagliarmi!

Il mio discorso deriva dal fatto che posso costruire una base per $V$ che consta di autovettori di $f$, la decomposizione per autospazi di $Im(f)$ mi pare dunque naturale... mi sto organizzando per una decente dimostrazione!

[Dorian1]

Ora ti seguo!

[gygabyte017]

Grazie a entrambi! E il viceversa???