Dimostrazione di algebra lineare

[davide940]

Siano $A,B in M_n(R)$ tale che $ AB = 0_n$ e $A$ e' una matrice invertibile. Dimostrare che $ B = 0_n$
Dimostrazione:
Per ipotesi $A$ e' invertibile quindi
$ EEC in M_n : AC = CA = I_n$ quindi $A != 0_n$
Allora $AB = 0_n$ se $ B = 0_n$
Tuttavia l'ultima affermazione non puo' essere un se e solo se perche' nonostante entrambe le matrici non siano nulle puo' comunque essere che $AB = 0_n$.
Vorrei sapere se e' corretto o se ho dimenticato qualcosa.

[Silente]

Sarebbe un se e solo se, se valesse anche che " se \(\displaystyle AB=0 \) e \(\displaystyle B=0 \), allora \(\displaystyle A \) è invertibile".
Contro-esempio: A matrice nulla.

[gugo82]

@ davide940: Scusa, ma non si capisce come arrivi dove arrivi... Insomma, vorresti far seguire da \(A\neq 0_n\) e da \(AB=0_n\) la tesi \(B=0_n\), ma come?

Dovresti sapere che esistono esempi di strutture algebriche in cui \(ab=0\) pure con \(a\neq 0\neq b\), quindi non puoi dedurre \(B=0_n\) semplicemente da \(A\neq 0_n\) e \(AB=0_n\).

[davide940]

Infatti e' cio che ho scritto nelle ultime due righe, per questo non riesco a capire come deve essere dimostrata la proposizione.

[gugo82]

Beh, qui c'è una sola ipotesi da usare in gioco, cioé l'invertibilità di \(A\).
Tu l'hai usata in un modo che non ti porta da nessuna parte, cioé attraverso l'implicazione \(A\text{ invertibile}\Rightarrow A\neq 0_n\).
Prova ad usarla in altro modo, casomai mettendola algebricamente insieme all'altra, cioé \(AB=0_n\).

Suggerimento: Pensa a come fai a dimostrare \(a\text{ invertibilie e } ab=0 \Rightarrow b=0\) (qui puoi pensare \(a,b\in \mathbb{R}\), se ti facilita le cose) e prova a fare lo stesso discorso per le matrici.

[Silente]

Direi che puoi anche sfruttarla come hai fatto, passando poi alle norme e vedendo cosa si ottiene

[davide940]

Allora io ho pensato che se riesco ad ottenere da $AB = 0_n$ una cosa del tipo $ I_nB = 0_n$ allora deve essere $B = 0_n$. Quindi ho pensato di fare:
$ ∃Cin Mn:AC=CA=In $
$ AB = 0_n$ moltiplico entrambi i membri per $C$ e trovo:
$ CAB = C0_n$ quindi $ I_nB = 0_n$ quindi deve essere $B = 0_n$

[gugo82]

@ davide940: Certo.

Solo un appunto. Qui:

"davide940":Quindi ho pensato di fare:
$ EE Cin Mn:AC=CA=In $
$ AB = 0_n$ moltiplico entrambi i membri per $C$ e trovo:
$ CAB = C0_n$ quindi $ I_nB = 0_n$ quindi deve essere $B = 0_n$

userei "è", non "deve essere".

@ Ianero: Dubito che, a questo livello, parlare di norme matriciali possa essere utile.

[davide940]

ok grazie mille per l'aiuto