Dimostrazione - determinante di tre vettori
Voglio dimostrare che dati tre vettori $u,v,w in R^3$, il determinante cambia di segno se si scambiano $u$ e $v$ o $u$ e $w$.
Provo, ad esempio, a dimostrare che $det(u,v,w)=-det(v,u,w)$:
$det(u,v,w)=| ( u_1 , v_1 , w_1 ),( u_2 , v_2 , w_2 ),( u_3 , v_3 , w_3 ) | = u_1 | ( v_2 , w_2 ),( v_3 , w_3 ) | + u_2 | ( v_1 , w_1 ),( v_3 , w_3 ) | + u_3 | ( v_1 , w_1 ),( v_2 , w_2 ) | =$
$= u_1 (v_2 w_3 - w_2 v_3) + u_2 (v_1 w_3 - w_1 v_3) + u_3 (v_1 w_2 - w_1 v_2)$.
$det(v,u,w)=| ( v_1 , u_1 , w_1 ),( v_2 , u_2 , w_2 ),( v_3 , u_3 , w_3 ) | = v_1 | ( u_2 , w_2 ),( u_3 , w_3 ) | + v_2 | ( u_1 , w_1 ),( u_3 , w_3 ) | + v_3 | ( u_1 , w_1 ),( u_2 , w_2 ) | =$
$= v_1 (u_2 w_3 - w_2 u_3) + v_2 (u_1 w_3 - w_1 u_3) + v_3 (u_1 w_2 - w_1 u_2)=$
$= v_1 u_2 w_3 - v_1 w_2 u_3 + v_2 u_1 w_3 - v_2 w_1 u_3 + v_3 u_1 w_2 - v_3 w_1 u_2=$
$= u_1(v_2 w_3+w_2 v_3) + u_2(v_1 w_3 - w_1 v_3) + u_3(-v_1 w_2 - w_1 v_2)$.
Dove sbaglio?
Provo, ad esempio, a dimostrare che $det(u,v,w)=-det(v,u,w)$:
$det(u,v,w)=| ( u_1 , v_1 , w_1 ),( u_2 , v_2 , w_2 ),( u_3 , v_3 , w_3 ) | = u_1 | ( v_2 , w_2 ),( v_3 , w_3 ) | + u_2 | ( v_1 , w_1 ),( v_3 , w_3 ) | + u_3 | ( v_1 , w_1 ),( v_2 , w_2 ) | =$
$= u_1 (v_2 w_3 - w_2 v_3) + u_2 (v_1 w_3 - w_1 v_3) + u_3 (v_1 w_2 - w_1 v_2)$.
$det(v,u,w)=| ( v_1 , u_1 , w_1 ),( v_2 , u_2 , w_2 ),( v_3 , u_3 , w_3 ) | = v_1 | ( u_2 , w_2 ),( u_3 , w_3 ) | + v_2 | ( u_1 , w_1 ),( u_3 , w_3 ) | + v_3 | ( u_1 , w_1 ),( u_2 , w_2 ) | =$
$= v_1 (u_2 w_3 - w_2 u_3) + v_2 (u_1 w_3 - w_1 u_3) + v_3 (u_1 w_2 - w_1 u_2)=$
$= v_1 u_2 w_3 - v_1 w_2 u_3 + v_2 u_1 w_3 - v_2 w_1 u_3 + v_3 u_1 w_2 - v_3 w_1 u_2=$
$= u_1(v_2 w_3+w_2 v_3) + u_2(v_1 w_3 - w_1 v_3) + u_3(-v_1 w_2 - w_1 v_2)$.
Dove sbaglio?
Risposte
$u_2$ e $v_2$ sono gli elementi di prima riga seconda colonna, quindi vanno moltiplicati per $-1$ e non per $+1$
$(-1)^(1+2)=(-1)^3= -1$
$(-1)^(1+2)=(-1)^3= -1$
Già! Grazie! 
@sleax,
hai cercato di applicare il 1°teorema di Laplace rispetto alla prima colonna, ma non devi scrivere direttamente il minore complementare di \( (i,1), \forall i \in \{1,2,3\} \), in simboli \(\det(\Delta_{i1})\), devi inserire nella somma il cofattore di \((i,1), \forall i \in \{1,2,3\} \), cioè \((-1)^{i+1}\det (\Delta_{i1})\), avendo così \( \displaystyle \det(u,v,w)= \sum_{i=1}^{3} z_{i1}\,(-1)^{i+1}\,\det (\Delta_{i1})\), stessa cosa per il \( \displaystyle \det(v,u,w)\)
Saluti
"sleax":
Voglio dimostrare che dati tre vettori $u,v,w in R^3$, il determinante cambia di segno se si scambiano $u$ e $v$ o $u$ e $w$.
Provo, ad esempio, a dimostrare che $det(u,v,w)=-det(v,u,w)$:
$det(u,v,w)=| ( u_1 , v_1 , w_1 ),( u_2 , v_2 , w_2 ),( u_3 , v_3 , w_3 ) | = u_1 | ( v_2 , w_2 ),( v_3 , w_3 ) | + u_2 | ( v_1 , w_1 ),( v_3 , w_3 ) | + u_3 | ( v_1 , w_1 ),( v_2 , w_2 ) | =$
$= u_1 (v_2 w_3 - w_2 v_3) + u_2 (v_1 w_3 - w_1 v_3) + u_3 (v_1 w_2 - w_1 v_2)$.
$det(v,u,w)=| ( v_1 , u_1 , w_1 ),( v_2 , u_2 , w_2 ),( v_3 , u_3 , w_3 ) | = v_1 | ( u_2 , w_2 ),( u_3 , w_3 ) | + v_2 | ( u_1 , w_1 ),( u_3 , w_3 ) | + v_3 | ( u_1 , w_1 ),( u_2 , w_2 ) | =$
$= v_1 (u_2 w_3 - w_2 u_3) + v_2 (u_1 w_3 - w_1 u_3) + v_3 (u_1 w_2 - w_1 u_2)=$
$= v_1 u_2 w_3 - v_1 w_2 u_3 + v_2 u_1 w_3 - v_2 w_1 u_3 + v_3 u_1 w_2 - v_3 w_1 u_2=$
$= u_1(v_2 w_3+w_2 v_3) + u_2(v_1 w_3 - w_1 v_3) + u_3(-v_1 w_2 - w_1 v_2)$.
Dove sbaglio?
hai cercato di applicare il 1°teorema di Laplace rispetto alla prima colonna, ma non devi scrivere direttamente il minore complementare di \( (i,1), \forall i \in \{1,2,3\} \), in simboli \(\det(\Delta_{i1})\), devi inserire nella somma il cofattore di \((i,1), \forall i \in \{1,2,3\} \), cioè \((-1)^{i+1}\det (\Delta_{i1})\), avendo così \( \displaystyle \det(u,v,w)= \sum_{i=1}^{3} z_{i1}\,(-1)^{i+1}\,\det (\Delta_{i1})\), stessa cosa per il \( \displaystyle \det(v,u,w)\)
Saluti
prego!
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