Dimostrazione determinante con induzione

[petrogass]

Salve a tutti, avrei bisogno di una mano a risolvere questo esercizio, ci viene suggerita l'induzione come metodo di dimostrazione ma provando mi trovo davanti a calcoli che mi fan dubitare di essere sulla strada giusta.
L'esercizio è il seguente:
Il determinante $ Delta _3 =| ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( x , h , -1 , 0 ),( x^2 , hx , h , -1 ),( x^3 , hx^2 , hx , h ) | $ e il determinante generico $ Delta _n $ si determinano analogamente. Si dimostri per induzione che $ Delta _n=(x+h)^n $

[sandroroma]

Per semplicità indico con $D_n$ il determinante da calcolare. Sviluppando $D_n$ secondo l'ultima colonna
( che contiene solo due termini non nulli), con un po' di attenzione si trova la relazione:
$D_n=(-1)*(-x*D_{n-1})+h*D_{n-1)$
Ovvero:
$D_n=(x+h)*D_{n-1}$
L'ultima relazione è quella che si chiama "equazione per ricorrenza " e la sua soluzione si può ottenere
o con metodi elementari ( facendo variare l'indice da n a 2 e poi moltiplicando le eguaglianze ottenute)
oppure direttamente con la posizione $D_n=t^n$. Utilizzando il secondo metodo si ha :
$t^n=(x+h)*t^{n-1}$ da cui $t=x+h$
Pertanto la soluzione richiesta è proprio quella già riportata nella consegna:
$D_n=(x+h)^n$

[petrogass]

Grazie mille per la risposta, molto chiaro.